Question

（2012•包河区一模）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是；勾是五时，股和弦的算式分别是．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．

Answer

（1）根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证；
（3）发现：股和弦总是相差为2．主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1．
【解析】
（1）；

（2）当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，
它们之间的关系为：（ⅰ）弦-股=1，（ⅱ）勾2+股2=弦2
如证明（ⅰ），弦-股=；

（3）当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，，它们的股和弦．