Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°,∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．

Answer

证明见解析

【解析】（1）在等腰直角△ABC中，

∵AC=BC

∵∠CAD=∠CBD=15o，

∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，

∴BD=AD，

在△BDC和△ACD中

∴△BDC≌△ADC，   

∴∠DCA=∠DCB=45o．          

由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，

∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，

∴∠BDM=∠EDC，

∴DE平分∠BDC；              

（2）如图，连接MC，

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．   

又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，

∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC．                    

又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM=15°，

∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．      

 (1)灵活运用等腰三角形的性质，全等三角形的判定及全等三角形的性质，计算∠BDM和∠EDC的度数即可

（2）综合运用等边三角形的判定和它的性质，找全等三角形的条件即可

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