Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.

1.求证：CD为⊙O的切线；

2.若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长.

Answer

1.证明：连接OC,

∵OA=OC,

∴∠OCA=∠OAC.

∵CD⊥PA，

∴∠CDA=90°，

∴∠CAD+∠DCA=90°，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO.………………1分

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.

∴CD为⊙O的切线． …………………………2分

2.【解析】
过O作OF⊥AB，垂足为F，

∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，

∴四边形OCDF为矩形，

∴OC=FD，OF=CD.

∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x， ……………………3分

∵⊙O的直径为10，

∴DF=OC=5，∴AF=5-x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得.

即，化简得：

解得或（舍）. ………………………4分

∴AD=2, AF=5-2=3.

∵OF⊥AB，

AB=2AF=6. ………………………..5分

【解析】（1）证明∠DCO=90°即可求得CD为⊙O的切线，

（2）过O作OF⊥AB，构建一个矩形，利用勾股定理求得相关线段，从而求得AB的长。