2012-2013学年江苏省南通市四星级高中联考高三（上）期初数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数，则z虚部为    ．

2. 难度：中等

某地有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否已安装安全救助报警系统，调查结果如下表所示：

	外来户	原住户
已安装	60	35
未安装	45	60

则该小区已安装安全救助报警系统的户数估计有    户．

3. 难度：中等

已知A（m，0）、B（0，2m），（m＞0），并且=t（0≤t≤1），O为坐标原点，则|OP|的最小值为：    ．

4. 难度：中等

设x，y满足，则的取值范围是    ．

5. 难度：中等

已知正四面体棱长为1，则其在平面α内的投影面积最大值是    ．

6. 难度：中等

平面直角坐标系中，已知A（1-，1）、P（-，0），O为原点，等腰△AOB底边AB与y轴垂直，过点P的直线与△AOB围成的区域有公共点，则直线与y轴的交点保持在该区域内部的概率为：    ．

7. 难度：中等

给x输入0，y输入1，则下列伪代码程序输出的结果为    ．

8. 难度：中等

函数f（x）=log_2-a（x²+2ax+1）的值域为R，则a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

已知x∈R，f（x）为sinx与cosx中的较小者，设m≤f（x）≤n，则m+n=    ．

10. 难度：中等

已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是（），则双曲线离心率的范围是    ．

11. 难度：中等

给出下列四个命题中：
①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
②与不共面的四点距离都相等的平面共有4个．
③正四棱锥侧面为锐角三角形；
④椭圆中，离心率e趋向于0，则椭圆形状趋向于扁长．
其中所有真命题的序号是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²+3ax+1在区间（-2，2）内，既有极大也有极小值，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a_n∈N⁺，对于任意n∈N⁺，a_n≤a_n+1，若对于任意正整数K，在数列中恰有K个K出现，求a₅₀=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=，g（x）=x²-2ax+2，x∈[1，3]，对于∀m∈R，均能在区间[1，3]内找到两个不同的n，使f（m）=g（n），则实数a的值是    ．

15. 难度：中等

已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）当B=时，求cosA-cosC的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M、N分别为AC、PD的中点．
求证：
（1）MN∥平面ABP；
（2）平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．

17. 难度：中等

某企业在减员增效活动中对部分员工实行强制下岗，规定下岗员工在第一年可领取在职员工收入百分之百，之后每年所领取的比例只有去年的，根据企业规划师预测，减员之后，该企业的利润增加可使得在职员工的收入得到提高，若当年的年收入a万元，之后每年将增长ka万元．
（1）当k=时，到第n年下岗员工可从该企业获得总收入为多少？
（2）某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少，求m的最大值及此时k的取值范围？

18. 难度：中等

已知抛物线y²=8x与椭圆有公共焦点F，且椭圆过点D（-）．
（1）求椭圆方程；
（2）点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程；
（3）过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}是以d为公差的等差数列，数列{b_n}是以q为公比的等比数列．
（1）若数列{b_n}的前n项的和为S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₃+5b₂，求整数q的值；
（2）在（1）的条件下，试问数列{b_n}中是否存在一项b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（3）若b₁=a₁，b₂=a_s≠a_rb₃=a_t，（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-ax，g（x）=lnx
（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x₁，x₂且x₁∈（0，），求证：h（x₁）-h（x₂）＞-ln2；
（3）设r（x）=f（x）+g（），若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[]，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求实数k的取值范围．