Question

某企业在减员增效活动中对部分员工实行强制下岗，规定下岗员工在第一年可领取在职员工收入百分之百，之后每年所领取的比例只有去年的，根据企业规划师预测，减员之后，该企业的利润增加可使得在职员工的收入得到提高，若当年的年收入a万元，之后每年将增长ka万元．
（1）当k=时，到第n年下岗员工可从该企业获得总收入为多少？
（2）某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少，求m的最大值及此时k的取值范围？

Answer

（1）先求出下岗员工第n年从该企业收入，再利用错位相减法求和，即可得到结论；
（2）bn=an+1-an，利用某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少，建立不等式，即可求得结论．
【解析】
（1）设下岗员工第n年从该企业收入为an万元，则据题意an=（）n-1[1+（n-1）]a …（2分）
设Sn=a1+a2+…+an=[1++…+（）n-1]a+[+…+（n-1）（）n-1]a
由错位相减法可得：Sn=[6-（n+6）（）n]a
∴到第n年下岗员工可从该企业获得收入[6-（n+6）（）n]a万元．（5分）
（2）令bn=an+1-an=（）n[1+nk]a-（）n-1[1+（n-1）k]a=[（3-n）k-1]a（7分）
据题意
当n＜m-1时，bn≥0，即（3-n）k-1≥0；①
当n=m-1时，bn＜0，即（4-m）k-1＜0； ②（10分）
当m≥4时，②式总成立，即从第4年开始下岗员工总是从该企业所得变少；
∴m最大值=4；                            （12分）
将m=4代入①式得n＜3时，（3-n）k-1≥0恒成立；∵k＞0
∴[（3-n）k-1]最小值=k-1≥0
∴k≥1
∴m的最大值为4，此时 k≥1．…（14分）