2011-2012学年北京市通州区四星级中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“若方程x²+x-m=0无实根，则m≤0”为    命题（用“真”、“假”填空）

2. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与对角线AC₁异面的棱有    条．

3. 难度：中等

已知命题p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直．则p是q的     条件．
（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”之一）

4. 难度：中等

双曲线的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是    ．

5. 难度：中等

已知椭圆5x²+ky²=5的一个焦点为（0，2），则实数k的值为    ．

6. 难度：中等

已知命题p：x²-x≥6，q：x∈Z，则使得“p且q”与“非q”同时为假命题的所有x组成的集合M=    ．

7. 难度：中等

将一个球置于圆柱内，球与圆柱的上、下底面和侧面都相切，若球体积为V₁，圆柱体积为V₂，则V₁：V₂=    ．

8. 难度：中等

设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b；
（3）若a∥α且a∥β，则α∥β；
（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．
上面命题中，所有真命题的序号是     ．

9. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使得x²+（a-1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

若点P是以F₁，F₂为焦点的双曲线上一点，满足PF₁⊥PF₂，且|PF₁|=2|PF₂|，则此双曲线的离心率为    ．

11. 难度：中等

已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是    ．

12. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=，AA₁=3，M为线段BB₁上的一动点，则当AM+MC₁最小时，△AMC₁的面积为    ．

13. 难度：中等

一个长方体的对角线长为l，全面积为S，给出下列四个实数对：①（8，128）；②（7，50）；③（6，80）；④（，），其中可作为（l，S）取值的实数对的序号是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点集A={（ x，y）|x²+y²≤1}，B={（ x，y）|x≤4，y≥0，3x-4y≥0}，则点集Q={（ x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知命题p：实数m满足m²-7am+12a²＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AA₁=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（ 2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

17. 难度：中等

已知⊙C：x²+（y-1）²=25，，直线l：mx-y+1-4m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与⊙C总有两个不同的交点A，B．
（2）求弦长AB的取值范围．
（3）求弦长为整数的弦共有几条．

18. 难度：中等

设椭圆的左，右两个焦点分别为F₁，F₂，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F₁PF₂Q为正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为，求此椭圆方程．

19. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求证：PC⊥AE；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P-ACE的体积V．

20. 难度：中等

已知圆C过点P（1，1）且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l与圆C交于A，B两点，且点P（1，1）在直线l的左上方．
（1）求圆C的方程．
（2）证明：△PAB的内切圆的圆心在定直线x=1上．
（3）若∠APB=60°，求△PAB的面积．