2008-2009学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是     ．

2. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，命题q：x²-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；    
②命题“p∧¬q”是假命题；
③命题“¬p∨q”是真命题；   
④命题“¬p∨¬q”是假命题．
其中正确的是    ．

3. 难度：中等

是x₁，x₂，x₃，…，x₄₀的平均值，为x₄₁，x₄₂，x₄₃，…，x₁₀₀的平均值，是x₁，x₂，x₃，…，x₁₀₀．则=    ．

4. 难度：中等

用如下方法从1004名工人中选取50代表：先用简单随机抽样从1004人中剔除4人，剩下的1000人再按系统抽样的方法选取50人．则工人甲被抽到的概率为     ．

5. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为    ．

6. 难度：中等

椭圆x²+my²=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为    ．

7. 难度：中等

命题“ax²-2ax+3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是     ．

8. 难度：中等

在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是    ．

9. 难度：中等

右边程序执行后输出的结果是    ．

10. 难度：中等

“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的    条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）．

11. 难度：中等

甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图：

甲、乙同学中    数学成绩发挥比较稳定．

12. 难度：中等

若存在实数p∈[-1，1]，使得不等式px²+（p-3）x-3＞0成立，则实数x的取值范围为    ．

13. 难度：中等

用3种不同颜色给下图的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都不同的概率为    ．

14. 难度：中等

定义函数CONRND（a，b）是产生区间（a，b）内的任何一个实数的随机数函数．如图所示的程序框图可用来估计π的值．现在N输入的值为100，结果m的输出值为21，则由此可估计π的近似值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

分组	频数	频率
50.5～60.5	4	0.08
60.5～70.5		0.16
70.5～80.5	10
80.5～90.5	16	0.32
90.5～100.5
合计	50

（Ⅰ）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
（Ⅱ）补全频数直方图；
（Ⅲ）学校决定成绩在75.5～85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？

16. 难度：中等

已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y）．
（I）求当x，y∈R时，P满足（x-2）²+（y-2）²≤4的概率；
（II）求当x，y∈Z时，P满足（x-2）²+（y-2）²≤4的概率．

17. 难度：中等

．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

18. 难度：中等

已知命题p：“方程是焦点在y轴上的椭圆”，命题q：“关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负实根”．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知圆A：（x-1）²+y²=4与x轴负半轴交于B点，过B的弦BE与y轴正半轴交于D点，且2BD=DE，曲线C是以A，B为焦点且过D点的椭圆．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值．
[本小问为附加题，分值5分]（3）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值．

20. 难度：中等

以下给出的是用条件语句编写的程序，根据该程序回答
READ   x
IF     x＜a    THEN   y=-x²+ax+b
ELSEy=x²-ax+b
END   IF
PRINT   y
END
（Ⅰ） 求证：输入x的值互为相反数则输出的y值也互为相反数的充要条件是a²+b²=0；
（Ⅱ） 设常数，若在[0，1]随机输入x，则输出的y值为负，求实数a的取值范围．