2012-2013学年湖北省八校高三第二次联考文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知命题所有指数函数都是单调函数，则为（    ）

A.所有指数函数都不是单调函数           B.所有单调函数都不是指数函数

C.存在一个指数函数，它不是单调函数     D.存在一个单调函数，它不是指数函数

2. 难度：简单

已知，，则集合的子集共有（    ）

A.个         B.个             C.个              D.个 

3. 难度：简单

“”是“的解集是实数集”的  （    ）

A.充分不必要条件          B.必要不充分条件

C.充分必要条件            D.既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第一次到14次的考试成绩依次为，，…，，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（    ）

A.7               B.8            C.9           D.10 

5. 难度：简单

已知，是单位圆上的动点，且，单位圆的圆心为，则（    ）

A.          B.           C.               D.

6. 难度：简单

已知两个正数，的等差中项是，一个等比中项是，且，则抛物线的焦点坐标为（    ）

 A.         B.          C.         D. 

7. 难度：简单

《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织         尺布.(不作近似计算)

A.             B.             C.             D. 

8. 难度：简单

已知某几何题的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积，直径为4的球的体积为，则（    ）

A.             B.            C.           D. 

9. 难度：简单

定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离，已知曲线到直线的距离为，则实数的值为（    ）

A.或            B.或        C.              D. 

10. 难度：简单

已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ）

A. 

B. 

C.

D. 

二、填空题

11. 难度：简单

函数，则             .

12. 难度：简单

 已知是虚数单位，，为的共轭复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为              .

13. 难度：简单

对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为 的数据丢失，则依据此图可得：

（1）年龄组对应小矩形的高度为           ；

（2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数             .

14. 难度：简单

已知变量，满足约束条件，则的最小值为       .

15. 难度：简单

已知定义在上的偶函数的周期为2，且当时，，则              .

16. 难度：简单

已知得顶点、分别是离心率为的圆锥曲线的焦点，顶点在该曲线上，一同学已正确地推得，当时有 ，类似地，当时，有                .

17. 难度：简单

基尼系数是衡量一个国家贫富差距的标准，图中横轴表示人口（按收入由低到高分组）的累积百分比，纵轴表示收入的累积百分比，弧线（称为洛伦兹曲线）与对角线之间的面积叫做“完全不平等面积”，不平等面积与完全不平等面积的比值为基尼系数，则：

（1）当洛伦兹曲线为对角线时，社会达到“共同富裕”，这是社会主义国家的目标，则此时的基尼系数等于            .

（2）为了估计目前我国的基尼系数，统计得到洛伦兹曲线后，采用随机模拟方法，随机产生两个数组成点（其中），共产生了1000个点，且恰好有300个点落在区域中，则据此估计该基尼系数为            .

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量，，，设函数.

（1）求函数的最大值；

（2）在中，角为锐角，角、、的对边分别为、、，，且的面积为3，，求的值.

19. 难度：简单

如图，直三棱柱的侧棱长为3，，且，、分别是棱、上的动点，且

（1）证明：无论在何处，总有；

（2）当三棱柱.的体积取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值.

20. 难度：简单

设数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）在数列的每两项之间按照如下规则插入一些数后，构成新数列：与两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，其公差为，求数列的前项和为.

21. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为 ，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且两焦点和短轴的两端构成边长为的正方形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在直线交与椭圆于， ，且使，使得为的垂心，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

22. 难度：困难

已知函数，其中是常数且.

（1）当时，在区间上单调递增，求的取值范围；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）设是正整数，证明：.