Question

已知椭圆的右焦点为 ，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且两焦点和短轴的两端构成边长为的正方形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在直线交与椭圆于， ，且使，使得为的垂心，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（1） ；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用正方形的性质，椭圆的性质；（2）由直线的方程于椭圆的方程组成方程组，消去，由及综合求得.

试题解析：（1）由两焦点与短轴的两端点构成边长为的正方形，则，，

所以椭圆方程为.             （4分）

（2）假设存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心，设，，

∵，，则，故直线的斜率，∴设直线的方程为，

由得，由题意知，即，       （7分）

且，，由题意应有，

而，，

故，                     （9分）

∴，

解得或，经检验，当时，不存在，故舍去，

∴当时，所求直线方程为满足题意，

综上所述，存在直线，且直线的方程为,              （14分）

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.