广东省六校联盟2019-2020学年高三上学期第二次联考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

“”是“”成立的（       ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.不充分不必要条件

3. 难度：简单

已知，则(   )

A. B. C. D.

4. 难度：简单

中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A.  B.  C.  D.

5. 难度：简单

函数在的图像大致为(    )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知非零向量满足且，则与的夹角为(    )

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知函数的最小正周期为，　且，则(    )

A.在单调递增 B.在单调递增

C.在单调递减 D.在单调递减

8. 难度：中等

记等差数列的前项和为，若已知，则(    )

A. B. C. D.

9. 难度：中等

关于函数f(x)＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论：

① f(x)是偶函数;    ② f(x)在区间上单调递减;

③ f(x)是周期函数;  ④ f(x)图象关于对称

其中所有正确结论的编号是(          )

A.①③ B.②③ C.①② D.③④

10. 难度：中等

2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M_１，月球质量为M_２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

.

设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为

A.  B.

C.  D.

11. 难度：中等

已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，点 分别是的中点，，则球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

己知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为        ．

14. 难度：简单

已知的内角的对边分别为，，，若，则________.

15. 难度：中等

数列满足，，则______.

16. 难度：困难

已知不等式恒成立，则的取值范围是______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量, 设函数.

(1) 求的最小正周期.

(2) 求在上的最大值和最小值.

18. 难度：困难

已知数列的前项和为，且 .

(1) 求数列的通项公式；

(2) 记，数列的前项和为，求证：.

19. 难度：中等

如图，菱形的对角线与交于点O，，点分别在上，，交于点. 将沿折到△的位置，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

20. 难度：困难

的内角，，所对边分别为，，.已知.

(1) 求；

(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。

21. 难度：中等

两县城和相距，现计划在两县城外位于线段上选择一点建造一个两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城和城的总影响度为对城与城的影响度之和. 记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数2.7；垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为 ；且当垃圾处理厂与城距离为时对城和城的总影响度为0.029.

(1) 将表示成的函数；

(2) 讨论⑴中函数的单调性，并判断在线段上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由．

22. 难度：困难

已知函数．

(1) 若，求的最小值；

(2) 若在上单调递增，求的取值范围；

(3) 若， 求证：．