Question

已知函数．

(1) 若，求的最小值；

(2) 若在上单调递增，求的取值范围；

(3) 若， 求证：．

Answer

（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）先求出，再用求导的方法求出单调区间，极值，从而求出最值；

（2）问题转化为在恒成立，方法有二：

解法一：对分类讨论，求出；

解法二：分离出参数，构造函数，转化为与函数的最值关系；

（3）应用二次求导，先确定，要证，转为证，利用函数的单调性证转为证的大小关系，构造函数，通过研究函数的最值，从而得到结论.

【解析】
(1)函数的定义域为，

，

若，记，则

的单调减区间为，单调增区间为.

的最小值为

（2）在上单调递增,

当且仅当在区间恒成立，

即在区间恒成立，

(I) 若，由（1）知

在定义域上单调递增，满足条件

(II)若，

令，

所以取有，不合题意

综上所述，若在上单调递增，则的取值范围是

(2)法二：

记，则

记,则

在上单调递减

(根据洛比塔法则)

.

（3） 若，，

∴ 在上单减，

当 时，在（0，1）上单增；

当时，在（1，+）上单减；

令，则

其中令

当时，在单减，

在（0，1）上单增，

又在上单调递减