Question

如图，菱形的对角线与交于点O，，点分别在上，，交于点. 将沿折到△的位置，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）根据折叠前后关系可证，再用勾股定理证，即可证得结论；

（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，找出平面的法向量，即可求出结果.

（I）由已知得，，

又由得，故.

因此，从而

由,，

得.

由得.

所以，.

于是，故.

又，而，

所以平面.

（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，

建立空间直角坐标系，则，，

，，，

，.

设是平面的法向量，

则，即，

所以可以取

因菱形ABCD中有，

又由（1）知

所以是平面的法向量，

设二面角为，由于为锐角，

于是 .

因此二面角的余弦值是.