2012-2013学年北京市东城区高三（上）12月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x≥0}，且A∪B=B，则集合B可能是（ ）
A．{1，2}
B．{x|x≤1}
C．{-1，0，1}
D．R

2. 难度：中等

复数在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A．（1，1）
B．（-1，1）
C．（-1，-1）
D．（1，-1）

3. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

4. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的体积是（ ）

A．
B．8
C．4
D．

5. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2y-3x的最大值为（ ）
A．-3
B．2
C．4
D．5

6. 难度：中等

已知{a_n} 为等比数列，a₄+a₇=2，a₅a₆=-8，则a₁+a₁₀=（ ）
A．7
B．5
C．-5
D．-7

7. 难度：中等

已知函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，g（x）=-f（|x|），若g（lgx）＞g（1），则x的取值范围是（ ）
A．（0，10）
B．（10，+∞）
C．
D．

8. 难度：中等

设F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．3x±4y=0
B．3x±5y=0
C．4x±3y=0
D．5x±4y=0

二、填空题

9. 难度：中等

若，且α是第二象限角，则tanα=    ．

10. 难度：中等

已知向量，，．若λ为实数，（），则λ=    ．

11. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆上，若|PF₁|=4，∠F₁PF₂的大小为    ．

12. 难度：中等

若曲线的某一切线与直线y=4x+3平行，则切点坐标为    ．

13. 难度：中等

若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是    （写出所有正确命题的编号）．
①ab≤1；
②；
③a²+b²≥2；
④a³+b³≥3；
⑤．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．
（I）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c若（2a-c）cosB=bcosC，求f（）的取值范围．

17. 难度：中等

已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求二面角E-AC-D的正弦值．

18. 难度：中等

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求：a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求：数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b_n=na_n，（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

（理）已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；
②已知点，求证：为定值．