Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求：a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求：数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b_n=na_n，（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由Sn=2an-n，分别令n=1，2可求a1，a2，
（Ⅱ）由Sn=2an-n，可知Sn-1=2an-1-（n-1），（n≥2），两式相减可得 an与an-1的关系，构造等比数列即可求解an+1，然后求出an
（Ⅲ）由bn=nan，结合 数列的特点可利用分组求和，然后利用等差数列的求和及错位相减求和即可
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=2an-n，
令n=1，解得a1=1；
令n=2，解得a2=3     …（2分）
（Ⅱ）∵Sn=2an-n，
所以Sn-1=2an-1-（n-1），（n≥2）
两式相减得  an=2an-1+1                    …（4分）
所以an+1=2（an-1+1），（n≥2）…（5分）
又因为a1+1=2
所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列  …（6分）
所以，即通项公式   …（7分）
（Ⅲ）∵bn=nan，
所以
所以+…+（n•2n-n）
  …（9分）
令    ①
  ②
①-②得
=  …（11分）
∴=2+（n-1）•2n+1     …（12分）
所以  …（13分）