2012-2013学年浙江省宁波市海曙区万里国际学校高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若A（2，2），B（a，0），C（0，4）三点共线，则a等于（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

2. 难度：中等

直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ ）
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．不能确定

3. 难度：中等

在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行

4. 难度：中等

一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（ ）

A．右前上方
B．左前上方
C．右后上方
D．左后上方

5. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

6. 难度：中等

已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，这个平行四边形的一边的长为4，则该正方形的面积是（ ）
A．16
B．64
C．16或64
D．以上结论都不对

7. 难度：中等

一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（2，0），并经x轴反射，则反射光线所在的直线方程是（ ）
A．x-y-2=0
B．x+y-2=0
C．x-y+2=0
D．x+y+2=0

8. 难度：中等

如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（ ）
A．α⊥γ且l⊥m
B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m
D．α∥β且α⊥γ

9. 难度：中等

设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）∪（1，+∞）
B．（-∞，-2]∪[1，+∞）
C．（-2，1）
D．[-2，1]

10. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x变化关系（x∈（0，3]）（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

经过A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的倾斜角为    ．

12. 难度：中等

正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为DD′的中点，则BD′与平面ACE的位置关系是    ．

13. 难度：中等

设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥α，PB⊥β，A、B分别为垂足，PA=2，PB=4，则AB的长是     ．

14. 难度：中等

设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．
其中正确命题的序号是    ．

15. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为    ．

16. 难度：中等

设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为    ．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，∠ABC=90°，AC=6，BC=CC₁=，P是BC₁上一动点，则CP+PA₁的最小值是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD=CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．

19. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（底面三角形ABC是正三角形的直棱柱）中，点D，E分别是BC，B₁C₁的中点，BC₁∩B₁D=F，．求证：
（1）平面A₁EC∥平面AB₁D；
（2）平面A₁BC₁⊥平面AB₁D．

20. 难度：中等

制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

21. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（1）求二面角E-AB-D的大小；
（2）求四面体ABDE的表面积．

22. 难度：中等

已知三条直线l₁：2x-y+a=0（a＞0），l₂：-4x+2y+1=0和l₃：x+y-1=0，且l₁与l₂的距离是；
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②点P到l₁的距离是点P到l₂的距离的；
③点P到l₁的距离与点P到l₃的距离之比是：？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．