2012-2013学年福建省三明一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2}，则A→B的映射的个数有（ ）
A．7
B．12
C．64
D．81

2. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

点A（1，-2）到抛物线y²=4x的焦点F的距离是（ ）
A．1
B．2
C．
D．3

4. 难度：中等

已知某个三棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个三棱锥的体积是（ ）

A．cm³
B．cm³
C．cm³
D．cm³

5. 难度：中等

如图，函数y=f（x）的图象是曲线OAB，其中点O（0，0），A（1，2），B（3，1），则的值是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．无法判断

6. 难度：中等

直线截圆x²+y²=4得的劣弧所对的圆心角为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若a∥α，b⊂α，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
D．若a⊂α，b⊂α，a∥β，则α∥β

8. 难度：中等

已知点 A（2，-3），B（-3，-2），直线l过点（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是（ ）
A．k≥k≤-4
B．-4≤k≤
C．k＜
D．≤k≤4

9. 难度：中等

已知点P，F是抛物线y²=2x上的动点和焦点，又A（3，2），则|PA|+|PF|的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．5

10. 难度：中等

给出以下四个命题：
①过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0；
②当-3＜m＜5时，方程表示椭圆；
③△ABC中，A（-2，0），B（2，0），则直角顶点C的轨迹方程是x²+y²=4；
④“a=1”是“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”的充要条件．
其中正确命题的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

二、填空题

11. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组，则3x-y的最小值是    ．

12. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q=2，前n项和为S_n，则=    ．

13. 难度：中等

设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥α，PB⊥β，A、B分别为垂足，PA=2，PB=4，则AB的长是     ．

14. 难度：中等

已知双曲线的左右焦点分别是F₁，F₂，P点是双曲线右支上一点，且|PF₂|=|F₁F₂|，则三角形PF₁F₂的面积等于    ．

15. 难度：中等

一圆与两坐标轴分别相交于A、B、C、D四个交点，若A、B、C三个点都在函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象上，则点D的坐标为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求的值．

17. 难度：中等

在直角坐标系xoy中，以O为圆心的圆和直线相切．
（1）求圆O的方程；
（2）过点P（-1，-2）的直线l与圆O交于A，B两点，且，求直线l的方程．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂和a₃的值；
（Ⅱ）若数列为等差数列，求实数t的值．

19. 难度：中等

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

20. 难度：中等

设a＞0，函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x=3时，函数 f（x）取得极值，证明：当．

21. 难度：中等

注意：第（3）小题平行班学生不必做，特保班学生必须做．
已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4y的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（m，0）是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围；
（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．