2009-2010学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④

2. 难度：中等

如图所示的直观图中，O′A′=O′B′=2，则其平面图形的面积是（ ）

A．4
B．
C．
D．8

3. 难度：中等

圆C₁：x²+y²+2x+8y-8=0与圆C₂：x²+y²-4x-4y-1=0的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内含

4. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AD的中点，则异面直线C₁E与BC所成的角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知直线l的倾斜角为π，直线l₁经过点A（3，2）、B（a，-1），且l₁与l垂直，直线l₂：2x+by+1=0与直线l₁平行，则a+b等于（ ）
A．-4
B．-2
C．0
D．2

6. 难度：中等

用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．4
D．8

8. 难度：中等

已知圆的方程为x²+y²-6x-8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．-2

9. 难度：中等

由直线y=x+1上的点向圆（x-3）²+（y+2）²=1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数的值域是[0，+∞），则它的定义域可以是（ ）
A．（0，1]
B．（0，1）
C．（-∞，1）
D．（-∞，1]

二、填空题

11. 难度：中等

直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A（1，0）对称，则b=    ．

12. 难度：中等

若函数f（x）=a^x-x-a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知一个球的球心O到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若AB=BC=CA=3，则球的体积为    ．

14. 难度：中等

给出下列四个命题：
①过平面外一点作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一一个平面与这两条异面直线都平行；
④对两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等．
其中正确的命题的序号是     ．（请把所有正确命题的序号都填上）

三、解答题

15. 难度：中等

设函数f（x）=是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性．

16. 难度：中等

如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=a，点E在棱PC上．
（1）问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明；
（2）求二面角C-PA-B的余弦值．

17. 难度：中等

如图组合体中，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点．
（1）求证：无论点C如何运动，平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）当C是弧AB的中点时，求四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比．

18. 难度：中等

已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5．
（1）求直线PQ与圆C的方程；
（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．

19. 难度：中等

已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．