2012-2013学年河南省许昌市禹州一高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“x²-x=0”是“x=1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知命题p：任意x∈R，x＞sinx，则p的否定形式为（ ）
A．非p：存在x∈R，x＜sin
B．非p：任意x∈R，x≤sin
C．非p：存在x∈R，x≤sin
D．非p：任意x∈R，x＜sin

3. 难度：中等

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁=3，前三项和为21，则a₃+a₄+a₅=（ ）
A．33
B．72
C．84
D．189

4. 难度：中等

已知变量的最大值为（ ）
A．0
B．
C．4
D．5

5. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n-2，那么它的通项公式为a_n=（ ）
A．a_n=
B．a_n=
C．a_n=4n-1
D．a_n=4n+1

6. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”
C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₂+a₄=4，a₃+a₅=10，则它的前10项的和S₁₀=（ ）
A．138
B．135
C．95
D．23

8. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点坐标分别为（0，-2），（0，2），并且经过点（-，-），则椭圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，，则x+y的最小值为（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24

10. 难度：中等

在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1-y）．若不等式（x-a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（ ）
A．-1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．
D．

11. 难度：中等

设椭圆的两个焦点分别为F₁、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

各项均不为零的等差数列{a_n} 中-a_n-1-a_n+1=0（n∈N^*，n≥2），则S₂₀₁₂等于（ ）
A．4024
B．4018
C．2009
D．1006

二、填空题

13. 难度：中等

a＞1，则的最小值是     ．

14. 难度：中等

已知等比数列{a_n}为递增数列，且，则数列a_n的通项公式a_n=    ．

15. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是    ．

16. 难度：中等

过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知点A（3，0）为圆x²+y²=1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．并说明它表示什么曲线．

18. 难度：中等

已知命题p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x²+2ax+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．
（1）求tanC的值；
（2）若a=，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列{}的前n项和．

21. 难度：中等

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对于所有的n∈N₊，都有8S_n=（a_n+2）²．
（1）写出数列{a_n}的前3项；
（2）求数列{a_n}的通项公式（写出推证过程）；
（3）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得对所有n∈N₊都成立的最小正整数m的值．

22. 难度：中等

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．