2012-2013学年福建省福州市八县（市）一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若b=2asinB，则A等于（ ）
A．30°或60°
B．45°或60°
C．60°或120°
D．30°或150°

3. 难度：中等

下列选项中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac²＞bc²
B．若a＞b，c＜d，则＞
C．若ab＞0，a＞b，则
D．若a＞b，c＞d，则a-c＞b-d

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，|a₃|=|a₉|，公差d＜0；S_n是数列{a_n}的前n项和，则（ ）
A．S₅＞S₆
B．S₅＜S₆
C．S₆=0
D．S₅=S₆

5. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a＜5
B．a≥8
C．a＜5或a≥8
D．5≤a＜8

6. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若，则=（ ）
A．2
B．
C．
D．3

7. 难度：中等

设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3
B．1＜m＜3
C．3＜m＜4
D．4＜m＜6

8. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．当x＞0且x≠1，lgx+≥2
B．当0＜x＜1，x+
C．当0，sinθ+的最小值为2
D．当0＜x≤2时，x-无最大值

9. 难度：中等

若三角形的三个内角成等差数列，对应三边成等比数列，则三角形的形状（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形

10. 难度：中等

如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（ ）

A．10
B．10
C．10
D．10

11. 难度：中等

已知两线段a=2，b=，若以a，b为边作三角形，则a边所对的角A的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

在数列{}a_n中，如果存在常数T（T∈N^*），使得a_n+T=a_n对于任意正整数n均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n]的周期．已知数列{b_n}满足b_n+2=|b_n+1-b_n|，若b₁=1，b₂=a，（a≤1，a≠0）当数列{b_n}的周期为3时，则数列{b_n}的前2010项的和S₂₀₁₀等于（ ）
A．669
B．670
C．1339
D．1340

二、填空题

13. 难度：中等

数列{a_n}的首项为3，{b_n}为等差数列且b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．若b₃=-2，b₁₀=12，则a₈=    ．

14. 难度：中等

设a＞0，b＞0且a+b+1=0，则+的最小值为    ．

15. 难度：中等

若二次函数f（x）≥0的解的区间是[-1，5]，则不等式（1-x）•f（x）≥0的解为    ．

16. 难度：中等

对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：

按此方法，5²的“分裂”中最大数是    ，若m³的“分裂”中的最小数是21，则m的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．
（1）求的值；
（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S_△ABC．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
①求a，b的值；
②设F（x）=-f（x）+2kx+13k-2，则当k取何值时，函数F（x）的值恒为负数？

19. 难度：中等

如图，港口B在港口O正东120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，港口B的北偏西30°方向上，一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°即OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口B出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，问快艇离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？

20. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=，S₆=．
（1）求等比数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=6n-61+log₂a_n，证明数列{b_n}为等差数列；
（3）对（2）中的数列{b_n}，前n项和为T_n，求使T_n最小时的n的值．

21. 难度：中等

国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能的产品供不应求．为适应市场需求，某企业投入98万元引进环保节能生产设备，并马上投入生产．第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元．而每年因引入该设备可获得年利润为50万元．请你根据以上数据，解决以下问题：
（1）引进该设备多少年后，该厂开始盈利？
（2）若干年后，因该设备老化，需处理老设备，引进新设备．该厂提出两种处理方案：
第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出．
第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．
问哪种方案较为合算？

22. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=2-2S_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=•a_n，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n；
（3）是否存在自然数m使得＜T_n对一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．