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设数列{an}的前n项和为Sn,且an=2-2Sn (1)求数列{an}的通项公...

设数列{an}的前n项和为Sn,且an=2-2Sn
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=manfen5.com 满分网•an,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn
(3)是否存在自然数m使得manfen5.com 满分网<Tnmanfen5.com 满分网对一切n∈N*恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
(1)再写一式,两式相减,可得数列{an}是等比数列,从而可求通项公式; (2)利用错位相减法,可求数列的和; (3)先确定≤Tn<,再根据<Tn对一切n∈N*恒成立,建立不等式,即可求得m的值. 【解析】 (1)由an=2-2Sn,令n=1,则a1=2-2S1,又S1=a1,所以a1= 当n≥2时,由an=2-2Sn,可得an-an-1=-2(Sn-Sn-1)=-2an,即= 所以{an}是以a1=为首项,为公比的等比数列,于是an=2•; (2)bn=•an=,∴Tn=+2•+…+① ∴Tn=1•+…++② ①-②可得Tn=++…+-=- ∴Tn= (3)Tn+1-Tn=bn+1=>0,∴{Tn}单调递增,∴Tn≥T1=c1= ∵Tn=<,∴≤Tn< 使得<Tn对一切n∈N*恒成立,则 ∴3≤m< ∵m是自然数, ∴m=3.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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