2012-2013学年湖北省武汉市部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设x、y满足线性约束条件，则x+2y的取值范围是（ ）
A．[2，6]
B．[2，5]
C．[3，6]
D．[3，5]

2. 难度：中等

设α∈（0，），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈（ ）
A．（0，]
B．（，）
C．（0，）
D．[，）

3. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=1，点A（-2，0）及点B（2，a），从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（ ）

A．（-∞，-1）∪（-1，+∞）
B．（-∞，-2）∪（2，+∞）
C．（-∞，-）∪（，+∞）
D．（-∞，-4）∪（4，+∞）

4. 难度：中等

过点（2，-2）且与双曲线-y²=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

5. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=r²，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l₁，直线l₂的方程为ax+by+r²=0，那么（ ）
A．l₁∥l₂，且l₂与圆O相离
B．l₁⊥l₂，且l₂与圆O相切
C．l₁∥l₂，且l₂与圆O相交
D．l₁⊥l₂，且l₂与圆O相离

6. 难度：中等

已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A．π
B．4π
C．8π
D．9π

7. 难度：中等

已知点F是双曲线的右焦点，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（1，3）
C．（1，1+）
D．（2，1+）

8. 难度：中等

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F做倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值为（ ）
A．3
B．
C．1
D．

9. 难度：中等

若椭圆与双曲线有相同的焦点F₁，F₂，P是椭圆与双曲线的一个交点，则△F₁PF₂的面积是（ ）
A．4
B．2
C．1
D．

10. 难度：中等

设P为抛物线y²=2px（p＞0）上任意一点，F为抛物线焦点，定点A（1，3），且|PA|+|PF|的最小值为，则抛物线方程为（ ）
A．y²=2（）
B．y²=4
C．y²=8
D．y²=4（）

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线的离心率 e=2，则k的值是    ．

12. 难度：中等

已知x，y满足，则的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆x²+y²=1上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹所在的曲线是    （在圆，抛物线，椭圆，双曲线中选择一个作答）

14. 难度：中等

已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为    ．

15. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为原点坐标）且|PF₁|=λ|PF₂|，则λ的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的顶点A（-2，0），B（1，0），顶点C在抛物线x²=y上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．

17. 难度：中等

已知圆C的圆心在射线3x-y=0（x≥0）上，圆C与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）点为圆C上任意一点，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B．

	甲	乙	丙
维生素A（单位/千克）	600	700	400
维生素B（单位/千克）	800	400	500
成本（元/千克）	11	9	4

（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；
（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．

19. 难度：中等

已知双曲线C：-y²=1，P是C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．

20. 难度：中等

已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）探究|AC|•|BD|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）过点F作一条直线m与直线l垂直，且与抛物线交于M、N两点，求四边形AMBN面积最小值．

21. 难度：中等

已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），直线l平行OM，且与椭圆交于A、B两个不同的点．
（1）求椭圆方程；
（2）若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形．