2012-2013学年山东省聊城市某重点高中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列是全称命题且是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x²＞0
B．∀x∈Q，x²∈Q
C．∃x∈Z，x²＞1
D．∀x，y∈R，x²+y²＞0

2. 难度：中等

设p、q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是（ ）
A．p、q中至少有一个为真
B．p、q中至少有一个为假
C．p、q中中有且只有一个为真
D．p为真，q为假

3. 难度：中等

抛物线y=x²上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是（ ）
A．（1，1）
B．（）
C．
D．（2，4）

4. 难度：中等

已知点F₁（-4，0）和F₂（4，0），曲线上的动点P到F₁、F₂的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．-=1
B．-=1（y＞0）
C．-=1或 -=1
D．-=1
E．-=1（x＞0）

5. 难度：中等

若f′（x）=2，则等于（ ）
A．-1
B．-2
C．1
D．

6. 难度：中等

函数y=xlnx在区间（0，1）上是（ ）
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是单调减函数，在上是单调增函数
D．在上是单调增函数，在上是单调减函数

7. 难度：中等

若椭圆的两焦点为（-2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列说法中，正确的个数是（ ）
①存在一个实数，使-2x²+x-4=0；
②所有的质数都是奇数；
③斜率相等的两条直线都平行；
④至少存在一个正整数，能被5和7整除．
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

下列命题的否定不正确的是（ ）
A．存在偶数2n是7的倍数
B．在平面内存在一个三角形的内角和大于180°
C．所有一元二次方程在区间[-1，1]内都有近似解
D．任意两个向量的和的模小于这两个向量的模

10. 难度：中等

在△ABC中，已知a=4，b=4，B=60°，则角A的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

11. 难度：中等

等比数列{a_n}中，首项a₁=8，公比，那么{a_n}前5项和S₅的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（ ）
A．400米
B．500米
C．700米
D．800米

二、填空题

13. 难度：中等

命题“对任何x∈R，|x-2|+|x-4|＞3”的否定是    ．

14. 难度：中等

命题“存在实数x，y，使得x+y＞1”，用符号表示为    ；此命题的否定是    （用符号表示），是    命题（填“真”或“假”）．

15. 难度：中等

已知圆C：（x+1）²+y²=25及点A（1，0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为    ．

16. 难度：中等

在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，d为公差且不为0，a₁和d均为实数，它的前n项和记作S_n，设集合A={（a_n，）|n∈N^*}，B={（x，y）x²-y²=1，x，y∈R}．试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
（2）A∩B至多有一个元素；
（3）当a₁≠0时，一定有A∩B≠∅．

18. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．

19. 难度：中等

已知某厂生产x件产品的总成本为f（x）=25000+200x+（元）．
（1）要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

20. 难度：中等

已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是F₁（1，0），求它的另一个焦点F₂的轨迹方程．

21. 难度：中等

美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足，已知生产该产品还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为元．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数（利润=总售价-成本-促销费）；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

22. 难度：中等

在△ABC中，a=3，b=2，A=60°，求cosB及c的值．