2012-2013学年江苏省无锡市江阴二中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

直线y=x+1的倾斜角大小为    ．

2. 难度：中等

点P（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是   

3. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AC与BD₁所成角为    ．

4. 难度：中等

过点P（-1，3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为    ．

5. 难度：中等

若一个球的表面积为12π，则该球的半径为    ．

6. 难度：中等

空间四边形ABCD中，E，F，H，G分别为边AB，AD，BC，CD的中点，则BD与平面EFGH的位置关系是    ．

7. 难度：中等

用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积是    ．

8. 难度：中等

长方体的长、宽、高分别为3、2、1，若该长方体的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为    ．

9. 难度：中等

直线x+2y=0被曲线x²+y²-6x-2y-15=0所截得的弦长等于    ．

10. 难度：中等

关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；
③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；
④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．
其中正确的命题序号是    ．

11. 难度：中等

设集合M={（x，y）|x²+y²≤4}，N={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤r²（r＞0）}，当M∩N=N时，则实数r的取值范围为    ．

12. 难度：中等

由直线y=x+1上的一点向圆（x-3）²+y²=1引切线，则切线长的最小值为    ．

13. 难度：中等

若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为    ．

14. 难度：中等

直线y=x+b与曲线有且有一个公共点，则b的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知直线l₁：（m+2）x+（m+3）y-5=0和l₂：6x+2（2m-1）y=5．
问m为何值时，有（1）l₁∥l₂？（2）l₁⊥l₂？

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，BC=CC₁，E、F分别为AB、AA₁的中点．
（1）求证：直线EF∥平面BC₁A₁；
（2）求证：EF⊥B₁C．

17. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD
（I）求证：AB⊥DE
（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的侧面积．

18. 难度：中等

（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程；
（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为2，求此圆的方程．

19. 难度：中等

在路边安装路灯，灯柱OA的高为h，路宽OC为23米，灯杆AB的长为2.5米，且与灯柱OA成120°角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线BD与灯杆AB垂直．请你建立适当的直角坐标系，解决以下问题：
（1）当h=10米时，求灯罩轴线BD所在的直线方程；
（2）当h为多少米时，灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线．

20. 难度：中等

已知直线（1+4k）x-（2-3k）y+（2+8k）=0（k∈R）所经过的定点F，直线l：x=-4与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（1）求点F和圆C的方程；
（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．