2012-2013学年江苏省扬大附中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

在空间直角坐标系中，点（4，-1，2）关于原点的对称点的坐标是    ．

2. 难度：中等

取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是    ．

3. 难度：中等

直线l经过点P（-1，2），且与直线2x-3y+4=0平行，则直线l的方程为    ．

4. 难度：中等

某校高二（1）班共有48人，学号依次为01，02，03，…，48，现用系统抽样的办法抽一个容量为4的样本，已知学号为06，30，42的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为    ．

5. 难度：中等

某市教育局在中学开展“创新素质实践行”小论文的评比．各校交论文的时间为10月1日至30日，评委会把各校交的论文的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为18．那么本次活动收到论文的篇数是    ．

6. 难度：中等

若数据x₁，x₂，x₃，…x₂₀₁₁，x₂₀₁₂的方差为3，则数据3（x₁-2），3（x₂-2），3（x₂₀₁₁-2），3（x₂₀₁₂-2）的标准差为    ．

7. 难度：中等

以线段AB：x+y-2=0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为    ．

8. 难度：中等

掷两枚硬币，若记出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的概率分别为P₁，P₂，P₃，则下列判断中，正确的有    ．（填序号）
①P₁=P₂=P₃    
②P₁+P₂=P₃   
③P₁+P₂+P₃=1   
④P₃=2P₁=2P₂．

9. 难度：中等

有一组统计数据共10个，它们是：2，4，x，5，5，6，7，8，9，10，已知这组数据的平均数为6，根据如图所示的伪代码，可知输出的结果M为    ．

10. 难度：中等

已知直线l₁的方程是ax-y+b=0，l₂的方程是bx-y-a=0（ab≠0，a≠b），则如图所示各示意图形中，正确的是    ．（填序号）

11. 难度：中等

执行如图所示流程图，若输入x=4，则输出y的值为    ．

12. 难度：中等

若关于x的方程-kx-3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

某人去银行取钱，他忘记了信用卡密码的最后一位，但他确定是他出生年月（1969.12）中出现的4个数字1，2，6，9中的某一个，便在这4个数中一一去试．已知当连续三次输错时，机器会吃卡，则他被吃卡的概率是    ．

14. 难度：中等

已知P（x，y）是圆C：x²+（y-4）²=1外一点，过点P作圆C的切线，切点为A、B．记四边形PACB的面积为f（P），当P（x，y）在圆D：（x+4）²+（y-1）²=4上运动时，f（P）的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高一年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：

序号 （i）	分组 （分数）	组中值（Gi）	频数 （人数）	频率（Fi）
1	[60，70）	65	①	0.16
2	[70，80）	75	22	②
3	[80，90）	85	14	0.28
4	[90，100]	95	③	④
合    计			50	1

（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的同学能获奖，那么可以估计在参加的800名学生中大概有多少同学获奖？
（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出S的值．

16. 难度：中等

（示范高中）已知直线l过点M（-3，3），圆N：x²+y²+4y-21=0．
（1）求截得圆N弦长最长时l的直线方程；
（2）若直线l被圆N所截得的弦长为8，求直线l的方程．

17. 难度：中等

设O为坐标原点，点P的坐标为（x-2，x-y）．
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现随机从此盒中先后连续抽出两张卡片，记两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点P在第一象限的概率；
（2）若利用计算机随机在区间[0，3]上先后取两个数分别记为x、y，求点P在第一象限的概率．

18. 难度：中等

已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．

19. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，斜率等于1的直线l与圆C交于A，B两点．
（1）求弦AB为圆C直径时的直线l的方程；
（2）试问原点O能否成为弦AB的中点？说明理由；
（3）若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l在y轴上的截距范围．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：8x+6y+1=0，圆C₁：x²+y²+8x-2y+13=0，圆C₂：x²+y²+8tx-8y+16t+12=0．
（1）当t=-1时，试判断圆C₁与圆C₂的位置关系，并说明理由；
（2）若圆C₁与圆C₂关于直线l对称，求t的值；
（3）在（2）的条件下，若P（a，b）为平面上的点，是否存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁与圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．