2012-2013学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x-1≤0}，则∁_UA=（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，+∞）
C．（-∞，1]
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

下列函数中，在定义域内是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．f（x）=tan

3. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知O（0，0），A（0，1），，则的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数的值域为（ ）
A．[2，+∞）
B．
C．
D．（0，2]

5. 难度：中等

设a=π^0.5，b=log₃2，c=cos2，则（ ）
A．c＜a＜b
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．c＜b＜a

6. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）＞f（-x）
B．∃x∈R，f（x）＞f（-x）
C．∀x∈R，f（x）f（-x）≥0
D．∃x∈R，f（x）f（-x）＜0

7. 难度：中等

已知函数则不等式xf（x-1）≤1的解集为（ ）
A．[-1，1]
B．[-1，2]
C．（-∞，1]
D．[-1，+∞）

8. 难度：中等

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列3个集合：
①
②M={（x，y）|y=cosx}
③M={（x，y）|y=e^x-2}
其中所有“好集合”的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．③
D．①②③

二、填空题

9. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，2a_n+1=a_n，则a₅=    ．

10. 难度：中等

（sin15°+cos15°）²=    ．

11. 难度：中等

已知函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，点M为边AB的中点，若∥，且，则=    ．

13. 难度：中等

已知函数y=g（x）的图象由f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ=    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），则称a_k为{a_n}的一个峰值．
（Ⅰ）若a_n=-|n-7|，则{a_n}的峰值为    ；
（Ⅱ）若且{a_n}存在峰值，则实数t的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，点D是斜边AB上的一点，且AC=AD．
（Ⅰ）求CD的长；
（Ⅱ）求sin∠BDC的值．

16. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=-5，S₅=-20．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式S_n＞a_n成立的n的最小值．

17. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

18. 难度：中等

如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
（Ⅰ）设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（Ⅱ）求矩形BNPM面积的最大值．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1=a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得a_k=a_i+a_j成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：a₄≤2a₁+a₂+a₃；
（Ⅲ）若a_n=72，求n的最小值．