2012-2013学年山东省济宁市鱼台一中高二（上）9月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

A、B为球面上相异两点，则通过A、B两点可作球的大圆有（ ）
A．一个
B．无穷多个
C．零个
D．一个或无穷多个

2. 难度：中等

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

3. 难度：中等

对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（ ）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．互为异面直线

4. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=10，AD=5，AA₁=4．分别过BC、A₁D₁的两个平行截面将长方体分成    三部分，其体积分别记为V₁=，V₂=，V₃=．若V₁：V₂：V₃=1：3：1，则截面A₁EFD₁的面积为（ ）

A．
B．
C．20
D．

5. 难度：中等

在下列关于点P，直线l、m与平面α、β的命题中，正确的是（ ）
A．若m⊥α，l⊥m，则l∥α
B．若α⊥β，α∩β=m，P∈α，P∈l，且l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β且l⊥β，l⊥m，则m⊥α
D．若l、m是异面直线，m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β．

6. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁和B₁B的中点，则D₁F与CE所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图所示，直线l₁：ax-y+b=0与l₂：bx-y+a=0（ab≠0，a≠b）的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

圆C₁：x²+y²-6x+6y-48=0与圆公切线的条数是（ ）
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条

9. 难度：中等

若圆（x-3）²+（y+5）²=r²上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（ ）
A．（4，6）
B．[4，6）
C．（4，6]
D．[4，6]

10. 难度：中等

有6根细木棒，长度分别为1，2，3，4，5，6，从中任取三根首尾相接，能搭成三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、B'，若AB=12，则A'B'=（ ）

A．4
B．6
C．8
D．9

12. 难度：中等

已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，过点A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为    ．

14. 难度：中等

设某几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积是    ．

15. 难度：中等

已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，则AB与平面ADC所成角的正弦值为    ．

16. 难度：中等

如图：点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②A₁P∥面ACD₁；
③DP⊥BC₁；
④面PDB₁⊥面ACD₁．
其中正确的命题的序号是     ．

三、解答题

17. 难度：中等

设圆的方程为x²+y²-4x-5=0，
（1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．

18. 难度：中等

如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．，求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．

20. 难度：中等

已知圆x²+y²=25，△ABC内接于此圆，A点的坐标（3，4），O为坐标原点．
（1）若△ABC的重心是，求直线BC的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）
（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

21. 难度：中等

已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l₁：x+2y+7=0相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交与M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P．
（I）求圆A的方程；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

22. 难度：中等

某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地，市规划部门计划利用它建设一个供市民休闲健身的小型绿化广场，如下图所示是步行小道设计方案示意图，其中，Ox，Oy分别表示自西向东，自南向北的两条主干道．设计方案是自主干道交汇点O处修一条步行小道，小道为抛物线y=x²的一段，在小道上依次以点为圆心，修一系列圆型小道，这些圆型小道与主干道Ox相切，且任意相邻的两圆彼此外切，若x₁=1（单位：百米）且x_n+1＜x_n．
（1）记以P_n为圆心的圆与主干道Ox切于A_n点，证明：数列是等差数列，并求|OA_n|关于n的表达式；
（2）记⊙P_n的面积为S_n，根据以往施工经验可知，面积为S的圆型小道的施工工时为（单位：周）．试问5周时间内能否完成前n个圆型小道的修建？请说明你的理由．