2012-2013学年江苏省南通市海门市高三（上）期中数学模拟试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设复数z=，则=    ．

2. 难度：中等

命题，命题p的否定为命题q，则q的真假性为    ．（填真或假）．

3. 难度：中等

已知向量，若，则λ=    ．

4. 难度：中等

函数y=cos³x+sin²x-cosx的最大值等于    ．

5. 难度：中等

对于任意k∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（k-4）x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）=    ．

7. 难度：中等

函数的单调减区间是    ．

8. 难度：中等

若直线y=kx是y=lnx的切线，则k=    ．

9. 难度：中等

若△ABC的内角满足sinA+cosA＞0，tanA-sinA＜0，则角A的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-|x|，若f（-m²-1）＜f（2），则实数m的取值范围是    ．

11. 难度：中等

若函数在[-1，1]上是单调增函数，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+e^x+x²⁰¹¹，令f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n+1（x）=f′_n（x），则f₂₀₁₂（x）=    ．

13. 难度：中等

如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁，A₁A₂，A₂A₃分别是A，B，C为圆心，AC，BA₁，CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线的第一圈；然后又以A为圆心，AA₃半径画弧，如此继续下去，这样画到第n圈．设所得螺旋线CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的总长度为S_n．求
（1）S₁=    ；
（2）S_n=    ．

14. 难度：中等

已知：M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数}，N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，．
求：（1）求cos（α-β）的值；
（2）若，且，求sinα的值．

16. 难度：中等

某观测站C在城A的南偏西25°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东50°，在C处测得距C为km的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了12km后，到达D处，此时C、D间距离为12km，问这人还需走多少千米到达A城？

17. 难度：中等

已知函数是奇函数，是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知x=是的一个极值点．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）设，试问过点（2，5）可作多少条曲线y=g（x）的切线？为什么？

19. 难度：中等

已知x₁，x₂是函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＞0）的两个零点，函数f（x）的最小值为-a，记P={x|f（x）＜0，x∈R}
（ⅰ）试探求x₁，x₂之间的等量关系（不含a，b）；
（ⅱ）当且仅当a在什么范围内，函数g（x）=f（x）+2x（x∈P）存在最小值？
（ⅲ）若x₁∈（-2，2），试确定b的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知为正整数，试比较n²与2ⁿ的大小．

22. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）
求函数 最大值．

23. 难度：中等

已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求证：f（x）=x．

24. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+blnx，其中ab≠0．
证明：当ab＞0时，函数f（x）没有极值点；当ab＜0时，函数f（x）有且只有一个极值点，并求出极值．