2011-2012学年山东省日照市高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={y|y=2^x，x∈R}，N={y|y=x²，x∈R}，则M∩N等于（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．{2，4}
D．{（2，4），（4，16）}

2. 难度：中等

设函数f（x）=x²-6x，则f（x）在x=0处的切线斜率为（ ）
A．0
B．-1
C．3
D．-6

3. 难度：中等

一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是（ ）
A．
B．
C．8
D．24

4. 难度：中等

下列命题中的真命题是（ ）
A．
B．∀x∈（0，+∞），e^x＞x+1
C．∃x∈（-∞，0），2^x＜3^x
D．∀x∈（0，+π），sinx＞cos

5. 难度：中等

如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位

7. 难度：中等

下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③

8. 难度：中等

由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．

9. 难度：中等

若函数f（x）=a^x+b的图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=1og_a（x+b）的大致图象是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面下列命题中不正确的是（ ）
A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

11. 难度：中等

如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知x是函数的一个零点，若x₁∈（1，x），x₂∈（x，+∞），则（ ）
A．f（x₁）＜0，f（x₂）＜0
B．f（x₁）＞0，f（x₂）＞0
C．f（x₁）＞0，f（x₂）＜0
D．f（x₁）＜0，f（x₂）＞0

二、填空题

13. 难度：中等

已知cosα=-，α∈（，π），则等于    ．

14. 难度：中等

已知向量=（-3，2），=（-1，0），若，（λ+）⊥，则实数λ的值为    ．

15. 难度：中等

我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为．类比这个结论，在空间中，果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R，那么凸多面体的体积V、表面积S'与内切球半径R之间的关系是    ．

16. 难度：中等

如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为    ；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=2a_n+2．
（I）求证：数列{a_n+2}是等比数列（要求指出首项与公比）；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a，b的值．

19. 难度：中等

已知函数为奇函数．
（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（II）解关于x的不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0．

20. 难度：中等

如图，某园林绿化单位准备在一直角ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，若AB=a，∠DAB=θ，种草的面积为S₁，种花的面积为S₂，比值称为“规划和谐度”．
（I）试用a，θ表示S₁，S₂；
（II）若a为定值，BC＞AB．当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值？最小值是多少？

21. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足．数列{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求a₁，d和T_n；
（II）若对任意的n∈N^*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．

22. 难度：中等

已知定义在R上的二次函数R（x）=ax²+bx+c满足2^R（-x）-2^R（x）=0，且R（x）的最小值为0，函数h（x）=lnx，又函数f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；  
（II）当a≤时，若x∈[1，3]，求f（x）的最小值；
（III）若二次函数R（x）图象过（4，2）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x₁，y₁），当时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）