2011-2012学年广东省深圳市高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点坐标为（ ）
A．（-1，0）
B．（0，-1）
C．（1，0）
D．（0，1）

2. 难度：中等

有下列四个命题，其中真命题有（ ）
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x²+2x+q=0有实根”的逆命题；
④“若a＞b，则ac²＞bc²”的逆否命题．
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④

3. 难度：中等

“a=0”是“ab=0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．（x²cosx）′=2xsin
D．

5. 难度：中等

若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

6. 难度：中等

函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．函数f（x）在（-2，3）内单调递增
B．函数f（x）在（-4，0）内单调递减
C．函数f（x）在x=3处取极大值
D．函数f（x）在x=4处取极小值

7. 难度：中等

设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-2，则点M的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

8. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x在区间[-3，0]上的最大值，最小值分别是（ ）
A．0，-2
B．0，-18
C．2，-18
D．8，-20

9. 难度：中等

设F₁和F₂为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°，则△F₁PF₂的面积是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

10. 难度：中等

函数f（x），g（x）在（m，n）上的导数分别为f'（x），g′（x），且f′（x）＜g′（x），则当m＜x＜n时，有（ ）
A．f（x）＞g（x）
B．f（x）＜g（x）
C．f（x）+g（n）＜g（x）+f（n）
D．f（x）+g（m）＜g（x）+f（m）

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-x+2＞0”的否定：    ．

12. 难度：中等

若双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，A是双曲线左支上的一点，且|AF₁|=5，那么|AF₂|=    ．

13. 难度：中等

曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是    ．

14. 难度：中等

直线y=x-1与抛物线y²=4x相交于A，B两点，则|AB|=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

用边长60cm的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转90°再焊接而成．问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？

17. 难度：中等

已知双曲线，P为C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．

18. 难度：中等

已知a为常数，求函数f（x）=-x³+3ax（0≤x≤1）的最大值．

19. 难度：中等

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m．
（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²ln|x|，
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围．