Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m．
（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

Answer

（1）将直线的方程y=x+m与椭圆的方程4x2+y2=1联立，得到5x2+2mx+m2-1=0，利用△=-16m2+20≥0即可求得m的取值范围；
（2）利用两点间的距离公式，再借助于韦达定理即可得到：两交点AB之间的距离∴|AB|====，从而可求得m的值．
【解析】
（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：4x2+（x+m）2=1
即：5x2+2mx+m2-1=0，
△=（2m）2-4×5×（m2-1）=-16m2+20≥0
解得：．
（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程5x2+2mx+m2-1=0的两根，由韦达定理可得：，
∴|AB|==
===；
∴m=0．