2011-2012学年广东省汕尾市陆河县河田中学高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知f（x）=sin（x+），g（x）=cos（x-），则f（x）的图象（ ）
A．与g（x）的图象相同
B．与g（x）的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得到g（x）的图象
D．向右平移个单位，得到g（x）的图象

2. 难度：中等

已知a，b∈R，且集合{1，-b，2^a+2^-a}={2b，-1，a+b}，则b-a=（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

3. 难度：中等

已知是夹角为120°的单位向量，则向量与垂直的充要条件是实数λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β
D．a⊂α，b∥β，α⊥β

5. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组目标函数t=x-2y的最大值为2，则实数a的值是（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

6. 难度：中等

将三棱锥A-BCD沿三条侧棱剪开，展开图形是一个边长为2的正三角形（如图所示），则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）

A．48π
B．36π
C．12π
D．3π

7. 难度：中等

已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10）
B．（5，6）
C．（10，12）
D．（20，24）

8. 难度：中等

一条走廊宽 2m，长 8m，用 6 种颜色的 1×1m²的整块地砖来铺设（每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多），要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方法有（ ）
A．30⁸个
B．30×25⁷个
C．30×20⁷个
D．30×21⁷个

二、填空题

9. 难度：中等

已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为    ．

10. 难度：中等

已知f（x）=x²⁰⁰⁸+ax²⁰⁰⁷--8，f（-1）=10，则f（1）=    ．

11. 难度：中等

定积分=    ．

12. 难度：中等

函数的图象中相邻两对称轴的距离是     ．

13. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄≥10，S₅≤15，则a₄的最大值为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则++=设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心．如a+b+c=，则内角A的大小为    ；若a=3，则△ABC的面积为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=cosx•+sinx•（x∈（0.）∪（，π））
（1）化简函数f（x）并求f（）的值；
（2）求函数f（x）在（，π）上的单调区间和值域．

16. 难度：中等

已知a∈R，给出下面两个命题：命题p：“在x∈[1，2]内，不等式x²+2ax-2＞0恒成立”；命题q：“关于x的不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集为空集”；当p、q中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
（1）请用尺子把右边图形画在答题卡上
（2）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F
（3）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的余弦值．

18. 难度：中等

已知三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
（I）求函数y=f（x）的表达式；
（II）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在区间[m-3，n]上的值域为[-4，16]，试求m、n应满足的条件．

19. 难度：中等

据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据估计，如果有x（x＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3000a元（a＞0为常数）．
（I）在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；
（Ⅱ）在（I）的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁=a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设由b_n=（c≠0）构成的新数列为{b_n}，求证：当且仅当c=-时，数列{b_n}是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列{b_n}，设c_n=（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和为T_n，现有数列{f（n）}，f（n）=T_n•（a_n+3-）•0.9ⁿ（n∈N^*），是否存在n∈N^*，使f（n）≤f（n）对一切n∈N^*都成立？若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．