2011-2012学年河北省保定市高三（上）摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|2＜x＜4}，则集合（∁_∪B）∩A=（ ）
A．[-1，4]
B．（-∞，-1）∪[4，+∞）
C．[2，3）
D．（-∞，2）∪（2，3）

2. 难度：中等

复数，则其虚部为（ ）
A．-1
B．0
C．-i
D．1

3. 难度：中等

已知向量垂直，则m的值为（ ）
A．
B．
C．-1
D．1

4. 难度：中等

若函数g（x）=f（x）cosx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（ ）
A．cos
B．cos2
C．sin
D．sin2

5. 难度：中等

在递减等差数列{a_n}中，若a₁+a₁₀₀=0，则其前n项和S_n取最大值时n的值为（ ）
A．49
B．51
C．48
D．50

6. 难度：中等

若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则S₄=（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

9. 难度：中等

已知平面上不共线的四点O，A，B，C．若-3+2=，则等于（ ）
A．
B．
C．1
D．2

10. 难度：中等

等比数列{a_n}中，若a₄a₅=1，a₈a₉=16，则a₆a₇等于（ ）
A．4
B．-4
C．±4
D．

11. 难度：中等

若方程ln（x-1）+x-1=0的根为x=m，则（ ）
A．-1＜m＜0
B．0＜m＜1
C．2＜m＜3
D．1＜m＜2

12. 难度：中等

已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，，当x∈（-2，0）时，f（x）的最小值为1，
则a的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．1

二、填空题

13. 难度：中等

已知变量x，y满足条件，则的最大值是    ．

14. 难度：中等

项数大于3的等差数列{a_n}中，各项均不为零，公差为1，且，则其通项公式为    ．

15. 难度：中等

如图：在山脚下A测得山顶P的仰角为a，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达点B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ为    米．

16. 难度：中等

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1，则函数y=f（x）的图象与y=log₄（x+1）的图象的交点个数为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知：向量，设f（x）=（）-1．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的图象与其对称轴的交点的坐标．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的最大值．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项的和为60，且a₁，a₆，a₂₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n+1-S_n=a_n（n∈N^*），且b₁=5，求S_n及数列{b_n}的通项公式．

21. 难度：中等

已知：函数f（x）=x³-6x²+3x+t，t∈R．
（1）①证明：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
②求函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离；
（2）设函数g（x）=e^xf（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围．

22. 难度：中等

已知：函数f（x）=a•lnx+bx²+x在点（f，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设函数的反函数为p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函数t（x）的最大值；
（3）在（2）中，问是否存在正整数N，使得当n∈N₊且n＞N时，不等式恒成立？若存在，请找出一个满足条件的N的值，并给以说明；若不存在，请说明理由．