2009-2010学年重庆市第二外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线l的倾斜角为，则它的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

下列命题中，正确的是（ ）
A．过点P（x₁，y₁）的直线的方程都可以表示为y-y₁=k（x-x₁）
B．经过两个不同点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的直线的方程可表示为（y-y₁）（x₂-x₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）
C．不经过原点的直线的方程可以表示为
D．经过点P（0，b）的直线的方程都可以表示为y=kx+b

3. 难度：中等

m=-2是直线（2-m）x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分也非必要条件

4. 难度：中等

直线x+3=0与直线x+y-3=0的夹角大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．120°
D．150°

5. 难度：中等

直线l过点A（3，4），且与点B（-3，2）的距离最远，则直线l的方程是（ ）
A．3x-y-5=0
B．x-3y+9=0
C．3x+y-13=0
D．x+3y-15=0

6. 难度：中等

圆C₁：x²+y²-2x-4y=0与圆C₂关于直线l：y=x-3对称，则C₂的方程是（ ）
A．x²+y²-10x+4y+24=0
B．x²+y²+10x-4y+24=0
C．x²+y²-10x-4y+24=0
D．x²+y²+10x+4y+24=0

7. 难度：中等

椭圆的焦点在y轴上，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0
B．k＞-2
C．k∈（-1，0）∪（0，2）
D．k∈（-1，2）

8. 难度：中等

已知x²+y²-2x+4y-20=0，则x²+y²的最小值为（ ）
A．10
B．20
C．
D．5

9. 难度：中等

椭圆的两个焦点和中心将两条准线间的距离4等分，则它的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

椭圆的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点依次为O、F、A、H，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

二、填空题

11. 难度：中等

经过点（2，-1），且与直线x+y-5=0垂直的直线方程是    ．

12. 难度：中等

过点P₁（4，0）和P₂（0，4）且面积最小的圆的方程是    ．

13. 难度：中等

，则z=x+2y的最大值为    ．

14. 难度：中等

椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P到它的右焦点的距离是    ．

15. 难度：中等

已知O为坐标原点，点A的坐标为（4，2），P为线段OA的垂直平分线上一点，若∠OPA为锐角，则点P的横坐标x的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知直线l过点A（2，1）、B（m，2），求直线l的方程．

17. 难度：中等

已知圆x²+y²=8，定点P（4，0），问过点P的直线的倾斜角在什么范围内取值时，该直线与已知圆无公共点．

18. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，且椭圆过点P（3，2），焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求椭圆的方程．

19. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．

20. 难度：中等

已知椭圆内有一点P（1，-1），F是椭圆的右焦点．
（1）求该椭圆的离心率．
（2）在椭圆上求一点M，使得|MP|+2|MF|的值最小，并求出这个最小值．

21. 难度：中等

（如图）过椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
（1）求椭圆=1的“左特征点”M的坐标．
（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆=1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．