2009-2010学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“x＞0”是“x≠0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

曲线y=x²在点M（）的切线的倾斜角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

3. 难度：中等

计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（ ）

A．1，3
B．4，1
C．0，0
D．6，0

4. 难度：中等

下列各式中值为1的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若=（2，-3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（ ）
A．4
B．15
C．7
D．3

6. 难度：中等

某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（ ）
A．35
B．-3
C．3
D．-0.5

7. 难度：中等

在空间直角坐标系中，若向量=（-2，1，3 ），=（1，-1，1 ），=（ 1，-，-）则它们之间的关系是（ ）
A．⊥且∥
B．⊥且⊥
C．∥且⊥
D．∥且∥

8. 难度：中等

已知函数f（x）在x=1处的导数为3，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．（x-1）³+3（x-1）
B．2（x-1）²
C．2（x-1）
D．x-1

9. 难度：中等

抛物线y=4x²上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．0

10. 难度：中等

在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站一次只能停靠一辆汽车），有一位乘客在等候第4路或第8路公共汽车．假定当时各路汽车首先到此站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

有一个由奇数组成的数列1，3，5，7，9，┅，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3，5}，第三组含三个数{7，9，11}，第四组含四个数{13，15，17，19}，┅，经观察，可以猜想每组内各数之和与其组的编号数n的关系为（ ）
A．等于n²
B．等于n³
C．等于n⁴
D．等于（n+1）n

12. 难度：中等

已知，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A．
B．
C．4
D．8

13. 难度：中等

给出以下命题：
（1）若，则f（x）＞0；  
（2）；
（3）应用微积分基本定理，有，则F（x）=lnx；
（4）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

14. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2]
B．（1，2）
C．[2，+∞）
D．（2，+∞）

15. 难度：中等

内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的边长为（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和

二、填空题

16. 难度：中等

甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是    ．

17. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别是BB₁、AC的中点，设，，，则等于    ．

18. 难度：中等

已知函数y=x³-3x，则它的单调递增区间是    ．

19. 难度：中等

在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：c²=a²+b²．设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S₁，S₂，S₃表示三个侧面面积，S₄表示截面面积，那么你类比得到的结论是    ．

20. 难度：中等

P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为    ．

三、解答题

21. 难度：中等

已知动点P到定点A（5，0）的距离与到定直线的距离的比是，求P点的轨迹方程，并画出轨迹示意图．

22. 难度：中等

在边长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E是BC的中点，F是DD'的中点
（1）求证：CF∥平面A'DE
（2）求二面角E-A'D-A的平面角的余弦值．

23. 难度：中等

已知：椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，且经过点（0，3）
（1）求此椭圆的方程
（2）若已知直线l：4x-5y+40=0，问：椭圆C上是否存在一点，使它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

24. 难度：中等

一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？

25. 难度：中等

已知函数在（1，+∞）上为增函数，函数g（x）=lnx-mx（x＞0）在（1，+∞）上为减函数．
（1）分别求出函数f（x）和g（x）的导函数；
（2）求实数m的值；
（3）求证：当x＞0时，．