Question

已知函数在（1，+∞）上为增函数，函数g（x）=lnx-mx（x＞0）在（1，+∞）上为减函数．
（1）分别求出函数f（x）和g（x）的导函数；
（2）求实数m的值；
（3）求证：当x＞0时，．

Answer

（1）利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求出f（x），g（x）的导函数；
（2）根据函数的单调性，令f'（x）==≥0恒成立及g'（x）==≤0恒成立，求出m的值．
（3）因为当x＞0时，1+＞1，利用（1）中f（x），g（x）的单调性得到当x＞0时，xln（1+）＜1＜（x+1）ln（1+）
【解析】
（1）f'（x）=…（2分）
g'（x）==…（4分）
（2）因为函数在（1，+∞）上为增函数，
所以当x＞1时，f'（x）==≥0恒成立，得m≤1．
因为函数g（x）=lnx-mx（x＞0）在（1，+∞）上为减函数．
所以当x＞1时，g'（x）==≤0恒成立，得m≥1．
从而m=1．…（6分）
（3）当x＞0时，1+＞1，
所以由（1）知：f（1+）＞f（1），即：ln（1+）+＞1，
化简得：（1+x）ln（1+）＞1
g（1+）＜g（1），即：ln（1+）-（1+）＜-1，
化简得：xln（1+）＜1．
所以当x＞0时，xln（1+）＜1＜（x+1）ln（1+）．…（8分）