2009-2010学年云南省玉溪一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若直线ax+by-3=0和圆x²+y²+4x-1=0切于点P（-1，2），则ab的值为（ ）
A．-3
B．-2
C．2
D．3

2. 难度：中等

设椭圆的两个焦点分别为F₁、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设椭圆和双曲线的公共焦点分别为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则cos∠F₁PF₂的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ ）
A．y²=8
B．y²=-8
C．y²=4
D．y²=-4

5. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC₁所成的角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知△ABC，∠ACB=90°，平面ABC外一点P满足PC=4，P到两边AC，BC的距离都是，则PC与平面ABC所成角的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

7. 难度：中等

在锐二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥β于B，BC⊥α于C，若AB=6，BC=3．则锐二面角α-l-β的平面角的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．60°或120°

8. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上取一点E使AE与AB、AD所成的角都等于60°，则AE的长为．
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知AB是异面直线a，b的公垂线段且A∈a，B∈b，AB=2，a与b成30°角，在a上取一点P，Ê⊃1;AP=4，则P到b的距离等于（ ）
A．或
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱A₁B₁、A₁D₁的中点，则点B到平面AMN的距离是（ ）

A．
B．
C．
D．2

11. 难度：中等

等边△ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面BPQC，若折叠后AB的长为d，则d的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知正四面体ABCD中，M、N分别是BC和AD中点，则异面直线AM和CN所成的角的正切值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

直线被圆所截得的弦长为    ．

14. 难度：中等

正四棱锥P-ABCD的高为PO，若Q为CD中点，且则x+y=    ．

15. 难度：中等

正三棱锥P-ABC中，AB=AC=10，BC=12，各侧面与底面所成的二面角都是45°，则棱柱的高为    ．

16. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，则直线A₁D到平面ACB₁的距离为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

平行六面体ABCD=A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3．∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°
求AC₁的长．

18. 难度：中等

椭圆与直线y=x+1交于P，Q两点 且，a²+b²=2a²b²．求椭圆方程．

19. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于a，D，E分别是AC₁，BB₁的中点．
（1）求证：平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求点C₁到平面AEC的距离．

20. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD．异面直线AD与PB所成角为60°，E为线段PC上一点，PE=2EC．
（1）求PD的长； （2）求二面角P-BD-E的大小．

21. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁上，
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当A₁E与平面EBD所成角θ为多大时，平面A₁BD⊥平面EBD．

22. 难度：中等

m为何值时，抛物线y²=x上总存在两点关于直线l：y=m（x-1）+1对称．