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在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上取一点E使A...

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上取一点E使AE与AB、AD所成的角都等于60°,则AE的长为.
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在正方体的对角面AA1C1C中,找到EH∥AA1,从而EH⊥平面ABCD,AE在平面ABCD内的射影AH在正方形对角线AC上,从而AE满足与AB、AD所成的角相等.再作HI⊥AB于I,连接EI,设AI=x,利用解直角三角形,得AE=2x,AH=x,最后在Rt△AEH中利用勾股定理,可建立等式,最终求出AE的长度. 【解析】 连接AC、A1C1,分别在A1C1、AC上取一点E、H,使AH=A1E,连接AE、EH 过H作HI⊥AB于I,连接IE ∵多面体ABCD-A1B1C1D1是正方体 ∴四边形AA1C1C是矩形 ∴AH∥A1E,再结合AH=A1E ∴四边形AA1EH是平行四边形 ∴EH∥AA1,再结合AA1与平面ABCD垂直 ∴EH⊥平面ABCD ∵AC是∠BAD的平分线,AE在底面ABCD内的射影AH在AC上 ∴∠EAD=∠EAB ∵AB⊂平面ABCD,EH⊥平面ABCD ∴AB⊥EH,再结合AB⊥HI,EH∩HI=H 得:AB⊥平面EHI ∵EI⊂平面EHI ∴EI⊥AB Rt△AEI中,设AI=x,∠EAI=60° ∴cos60°=,可得AE=2x Rt△AHI中,∠HAI=45° ∴cos45°=,可得AH= 在Rt△AEH中,AH2+EH2=AE2 ∴,可得x= ∴AE=2x= 故选C
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考点分析:
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