Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁上，
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当A₁E与平面EBD所成角θ为多大时，平面A₁BD⊥平面EBD．

Answer

（1）连AC，A1C1，可先根据线面垂直的判定定理可证BD⊥平面ACC1A1，A1E⊂平面ACC1A1，根据线面垂直的性质可知BD⊥A1E；
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A1O，EO，根据二面角平面角的定义可知∠A1OE即为二面角A1-BD-E的平面角，是90°，然后解三角形求出A1E与平面EBD所成角θ的大小即可．
【解析】
（1）证明：连AC，A1C1
∵正方体AC1中，AA1⊥平面ABCD∴AA1⊥BD
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA1=A
∴BD⊥平面ACC1A1且E∈CC1
∴A1E⊂平面ACC1A1
∴BD⊥A1E
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A1O，EO
由（1）得BD⊥平面A1ACC1∴BD⊥A1O，BD⊥EO
∴∠A1OE即为二面角A1-BD-E的平面角，
∴∠A1OE=90°，∴∠OA1E为A1E与平面EBD所成角θ，
∵AB=a，E为CC1中点∴A1O=，EO=，A1E=，
sinθ===
∴θ=arcsin，此时平面A1BD⊥平面EBD．