2007-2008学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|lgx²=0}，N={x|2^-1＜2^x+1＜2²，x∈Z}，则M∩N=（ ）
A．{-1，1}
B．{-1}
C．{0}
D．{-1，0}

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，公差为d，a₁+a₈+a₁₅=72，则a₅+3d=（ ）
A．24
B．22
C．20
D．-8

3. 难度：中等

sin315°-cos135°+2sin570°的值是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．-

4. 难度：中等

在△ABC中，“”是“A=30”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

要得到函数y=-2sinx的图象，只需将函数y=2cosx的图象（ ）
A．右移个单位
B．左移π个单位
C．右移π个单位
D．左移个单位

6. 难度：中等

设函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）的图象过点（1，0），则y=f（3x-1）的图象必过点（ ）
A．（3，1）
B．（1，）
C．（，1）
D．（0，1）

7. 难度：中等

设函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），又f（x）在[2，+∞）是减函数，且f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2
B．a＜0
C．0≤a≤4
D．a＜0或a≥4

8. 难度：中等

有一条信息，若1人得知后用1小时将其传给2人，这2人又用1小时分别传给未知此信息的另外2人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，理论上最少需要的时间约为（ ）
A．10天
B．2天
C．1天
D．半天

9. 难度：中等

设f（x）=x²+ax，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，则满足条件的所有实数a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜4
B．a=0
C．0＜a≤4
D．0≤a＜4

10. 难度：中等

若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2，且f（3）=4，f（2007）的值是（ ）
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009

二、填空题

11. 难度：中等

给定两个向量与平行，则x的值等于    ．

12. 难度：中等

已知a₁=0，a_n+1=a_n+（2n-1），则a_n=    ．

13. 难度：中等

如果，那么函数f（x）=cos²x+sinx的最小值是    ．

14. 难度：中等

规定记号“a⊗c”表示一种运算，即a⊗b=ab+a+b²（a，b为正实数），若1⊗m=3，则m的值为    ．

15. 难度：中等

已知f（x）=|x-2|+1（x=1，2，3），g（x）=4-x（x=1，2，3），则满足f[g（x）]＜g[f（x）]的x的值为    ．

16. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b∈R满足：f=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=（n∈N^*），b_n=（n∈N^*），考察下列结论：
①f（0）=f（1）；
②f（x）为偶函数；
③数列{b_n}为等差数列；
④数列{a_n}为等比数列，
其中正确的是    ．（填序号）

三、解答题

17. 难度：中等

函数f（x）=A-Asinϕ（x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P（，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（，0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间[]上的对称轴的方程．

18. 难度：中等

设当x≤1时，函数y=4^x-2^x+1+2的值域为D，且当x∈D时，恒有f（x）=x²+kx+5≤4x，求实数k的取值范围．

19. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的三边，a²-（b-c）²=bc，
（1）求角A；
（2）若BC=2，角B等于x，周长为y，求函数y=f（x）的取值范围．

20. 难度：中等

阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券…
（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，以此类推）．
（1）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？
（2）在一般情况下，顾客有a元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠．

21. 难度：中等

已知函数（a是常数）．
（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；
（2）若常数0＜a＜2，且知f（x）在区间（2，4）上是增函数，试求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x） 满足条件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）对非零实数x，都有2f（x）+f（）=2x++3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=（x≥0）直线 y=n-x分别与函数f（x） 的反函数 交于A，B两点
（其中n∈N*），设 a_n=|A_nB_n|，s_n为数列a_n 的前n项和．求证：当n≥2 时，总有 S_n²＞2（）成立．