2010年安徽省安庆市杨桥高中高二数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线x+ay-1=0（a∈R）与圆x²+y²-4x=0的交点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个

2. 难度：中等

2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾．大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天（包括第5天）捐款总数将达到（ ）
A．4800元
B．8000元
C．9600元
D．11200元

3. 难度：中等

函数f（x）=cos2x+sinx（x∈R）的最大值和最小值分别为（ ）
A．，0
B．，-2
C．，0
D．，-2

4. 难度：中等

若点（a，b）是圆x²+（y+1）²=1内的动点，则函数f（x）=x²+ax+b的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（0，1）内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

5. 难度：中等

已知大于1的实数x，y满足lg（2x+y）=lgx+lgy，则lgx+lgy的最小值为    ．

6. 难度：中等

将一边长为4的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥，则该正四棱锥的体积为    ．

7. 难度：中等

设、、都是单位向量且•=0，则（+）•（+）的最大值为    ．

8. 难度：中等

对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n=mn，则在此定义下，集合M={（p，q）|p⊙q=10，p∈N^*，q∈N^*}中元素的个数是    ．

9. 难度：中等

设S_n是数列{a_n}的前n项和，若a₁=3，a_na_n+1=（n∈N^*），则S₂₀₁₀=    ．

10. 难度：中等

在Rt△ABC中，AB=AC=1，如果椭圆经过A，B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为    ．

三、解答题

11. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知．
（1）求cosB的值； （2）求b的值．

12. 难度：中等

如图，已知二面角α-l-β的平面角为45°，在半平面α内有一个半圆O，其直径AB在l上，M是这个半圆O上任一点（除A、B外），直线AM、BM与另一个半平面β所成的角分别为θ₁、θ₂．试证明cos²θ₁+cos²θ₂为定值．

13. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，|AB|=10，|BC|=6，现以矩形ABCD的AB边为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，P是x轴上方一点，使得PC、PD与线段AB分别交于点C₁、D₁，且|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|成等比数列．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求动点P到直线l：x+y+6=0距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．

14. 难度：中等

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．

15. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足：，，且对于任意实数x，y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（II）定义数列{a_n}：a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求证：{a_n}为等比数列；
（III）若对于任意非零实数y，总有f（y）＞2．设有理数x₁，x₂满足|x₁|＜|x₂|，判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系，并证明你的结论．