2008-2009学年福建省漳州市东山一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“若p，则q”为真命题，则¬p是¬q的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）
A．真命题与假命题的个数相同
B．真命题的个数一定是偶数
C．真命题的个数一定是奇数
D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数

3. 难度：中等

不等式x²-2x-3＜0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．-1＜x＜3
B．0＜x＜3
C．-2＜x＜3
D．-2＜x＜1

4. 难度：中等

有4个命题：
（1）没有男生爱踢足球；
（2）所有男生都不爱踢足球；
（3）至少有一个男生不爱踢足球；  
（4）所有女生都爱踢足球；
其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是（ ）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）

5. 难度：中等

设命题p：是三个非零向量；命题q：为空间的一组基，则命题q是命题p的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

6. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，如果x₁+x₂=6，那么|AB|=（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10

7. 难度：中等

如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是=（1，0，1），=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

8. 难度：中等

空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，β∈R，α+β=1，则点C的轨迹为（ ）
A．平面
B．直线
C．圆
D．线段

9. 难度：中等

椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ）
A．15
B．12
C．10
D．8

10. 难度：中等

已知F₁、F₂是双曲线的两个焦点，M为双曲线上的点，若MF₁⊥MF₂，∠MF₂F₁=60°，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

直线y=x-a与抛物线y²=ax交于A、B两点，若F为抛物线焦点，则△AFB是  （ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．其形状不能确定

12. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（ ）
A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．直线

二、填空题

13. 难度：中等

空间两个动点A（1-x，1-x，x），B（2，3-x，x），则的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知椭圆（a＞3）的两个焦点为F₁、F₂，且|F₁F₂|=8，弦AB过点F₁，则△ABF₂的周长为    ．

15. 难度：中等

如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于    ．

16. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，则平面B₁D₁E与平面ABCD所成的二面角的余弦值为    ．

17. 难度：中等

若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与曲线x²-y²=1总有公共点，则b的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知命题P：方程表示焦点在x轴上的双曲线； 命题Q：的夹角为锐角，如果命题“P∨Q”为真，命题“P∧Q”为假．求k的取值范围．

19. 难度：中等

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F₁，F₂，且，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．求这两条曲线的方程．

20. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为线段A₁C₁中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）若AA₁=，二面角A-B₁D-A₁的大小为60，求线段 AB 的长度．

21. 难度：中等

根据抛物线的光学原理：一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点．然后求解此题：抛物线y²=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，一水平光线射到A点后，反射光线会平行y轴，一水平光线射到B点后，反射光线所在直线的斜率为 ．
（Ⅰ）求直线AB的方程．
（Ⅱ）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

22. 难度：中等

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：面EFG⊥面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角；
（3）求点A到面EFG的距离．

23. 难度：中等

已知动点M到点F．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点E（0，1）的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B，点P（-2，0）满足，求直线PN在y轴上的截距d的取值范围．．