Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为线段A₁C₁中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）若AA₁=，二面角A-B₁D-A₁的大小为60，求线段 AB 的长度．

Answer

（Ⅰ）连A1B交AB1于点E，由题意可得：E为AB1的中点，即可得到BC1∥DE，进而利用线面平行的判定定理得到线面平行．
（Ⅱ）结合题中的条件建立空间直角坐标系，设AB=a，再写出各点的坐标，即可求出两个平面的法向量，进而利用向量之间的有关运算求出两个向量的夹角，再将其转化为二面角的平面角．
证明：（Ⅰ）连A1B交AB1于点E，
∵四边形A1ABB1为矩形，
∴E为AB1的中点…．（1分）
又D为线段A1C1中点，
∴BC1∥DE…..（3分）
∵BC1⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D．
∴BC1∥平面AB1D…..（6分）
【解析】
（Ⅱ）以点A为原点，AB为X轴正半轴，平面ABC内过A垂直于AB的直线为Y轴，AA1为Z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，
则A（0，0，0），A1（0，0，），B1（a，0，），D（，
∴=，
设平面AB1D，则，，
故，，
则，
解得：，
取…．（9分）
∵AA1⊥平面A1B1C1，
∴是平面A1B1C1的一个法向量，
∴，
解得a=2，
∴线段 AB 的长度为2．…（12分）