2009-2010学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数f（x）=e^x+x²+sinx的导函数f′（x）=    ．

2. 难度：中等

在平面内圆具有性质“经过切点且垂直于切线的直线必过圆心”，将这一性质类比到空间中球的性质为“经过切点且    ”

3. 难度：中等

“，则边长分别为3，5，7和6，10，14的两个三角形相似”这个推理的大前提是    ．

4. 难度：中等

在（1+x）⁵-（1+x）⁶的展开式中，含x³的项的系数是    ．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，则曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程是    ．

6. 难度：中等

关于x的不等式C_x²•C₅²≥200（x≥2）成立的最小正整数为    ．

7. 难度：中等

从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有    种 （用数字作答）

8. 难度：中等

若z∈C且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z=    ．

9. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3xa在x=1处取极值，则实数a=    ．

10. 难度：中等

若（1+x）⁴=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则a₁+a₃的值为    ．

11. 难度：中等

设a，b，c，d∈R，复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是    ．

12. 难度：中等

用数学归纳法证明时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是    ．

二、解答题

13. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为______．

三、填空题

14. 难度：中等

观察下列等式：
，，，
，…
，
可以推测，当k≥2（k∈N*）时，=    ，a_k-2=    ．

四、解答题

15. 难度：中等

已知z、w、x为复数，且x=（1+3i）•z，w=且|w|=5．
（1）若w为大于0的实数，求复数x．
（2）若x为纯虚数，求复数w．

16. 难度：中等

在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列
（1）求展开式的常数项； 
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中各项的系数和．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R），当且仅当x=1，x=-1 时，f（x）取得极值，并且极大值比极小值大c．
（1）求常数a，b，c的值；
（2）求f（x）的极值．

18. 难度：中等

某学生在观察正整数的前n项平方和公式即1²+2²+3²+…+n²=，n∈N^*时发现它的和为关于n的三次函数，于是他猜想：是否存在常数a，b，1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=．对于一切n∈N^*都立？
（1）若n=1，2 时猜想成立，求实数a，b的值．
（2）若该同学的猜想成立，请你用数学归纳法证明．若不成立，说明理由．

19. 难度：中等

设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数acosx+bsinx．
（1）证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当f（x）∈M时，f₁（x）=f（x+t）∈M，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值f（x），得M₁={f（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下点（m，n）的象属于M₁，问：由所有符合条件的点（m，n）构成的图形是什么？

20. 难度：中等

函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导．导函数f^′（x）是减函数，且f^′（x）＞0，x∈（0，+∞）．g（x）=kx+m是y=f（x）在点（x，f（x））处的切线方程．
（1）用x，f（x），f^′（x）表示m；
（2）证明：当x∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）；
（3）若关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，其中a，b为实数，求b的取值范围及a，b所满足的关系．