2009-2010学年重庆八中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

满足条件M⊆{a，b}的所有集合M的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知向量，和，若，且向量与的夹角为θ，则cosθ的值为（ ）
A．
B．
C．-
D．

4. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．若x在内，则sinx＞cos
B．函数的图象的一条对称轴是
C．函数的最大值为π
D．函数y=sin2x的图象可以由函数的图象向右平移个单位而得

5. 难度：中等

已知O为坐标原点，点A（x，y）与点B关于x轴对称，，则满足不等式的点A的集合用阴影表示（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

△ABC中，，，，||=5，则与的夹角为（ ）
A．30°
B．-150°
C．150°
D．30°或150°

7. 难度：中等

已知椭圆的一条通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线y²=2px（p＞0）的通径重合，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将函数y=sinωx（ω＞0）的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

三个平面两两垂直，它们的三条交线相交于一点O，点P到三个平面的距离之比为1：2：3，，则点P到三个平面的距离分别为（ ）
A．2，4，6
B．4，6，8
C．3，6，9
D．5，10，15

10. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足下列条件：
①f（0）=2；
②当x∈R时，f'（x）＞0；
③f（x）=1且f（x）＞1．
若f（x）的反函数是f^-1（x），则不等式f^-1（x）＜0的解集为（ ）
A．（0，2）
B．（1，2）
C．（-∞，2）
D．（2，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

已知，，□=12，则在方向上的投影为    ．

12. 难度：中等

定义一种运算，若|m-1|⊗m=|m-1|，则m的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知实数x，y满足条件，（x+1）²+（y-1）²=r²（r＞0）则r的最小值为    ．

14. 难度：中等

在三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，x+y=4，当三棱锥O-ABC的体积最大时，异面直线AB与OC的距离等于    ．

15. 难度：中等

已知三个实数a，b，c成等比数列，且a+b+c=m（m是正常数），则b的取值范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知 f（θ）=a sinθ+b cosθ，θ∈[0，π]，且1与2cos ² 的等差中项大于1与 sin ² 的等比中项的平方．
求：（1）当a=4，b=3时，f（θ） 的最大值及相应的 θ 值；
（2）当a＞b＞0时，f（θ） 的值域．

17. 难度：中等

设不等式2x-1＞m（x²-1）对满足条件|m|≤2的一切实数m都恒成立，求实数x的取值范围．

18. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，，D，E分别为BB₁、AC的中点
（Ⅰ）证明：BE∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大小．

19. 难度：中等

函数f（x）对任意x∈R都有成立．
（Ⅰ）求和（n∈N^*）的值；
（Ⅱ）数列{a_n}满足条件；，试证：数列{a_n}是等差数列．

20. 难度：中等

已知抛物线x²=4y上的点P（非原点）处的切线与x轴，y轴分别交于Q，R两点，F为焦点．
（Ⅰ）若，求λ．
（Ⅱ）若抛物线上的点A满足条件，求△APR的面积最小值，并写出此时的切线方程．

21. 难度：中等

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对于任意的x∈R，均有，定义数列{a_n}，a=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：（n∈N^*）．
（Ⅱ）设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），求证：b_n＜（-6）•2^-n（n∈N^*）；
（Ⅲ）是否存在常数A，B同时满足条件：
①当n=0，1时，；
②当n≥2时（n∈N^*，）．如果存在，求出A，B的值，如果不存在，说明理由．