2005年重庆市高一数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题A：一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根；命题B：ac＜0，那么B是A的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

若对一切x≥1，都有成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞-1
B．m≥0
C．-1＜m＜0
D．-1＜m＜1

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，b_n是a_na_n+1的个位数字，则{b_n}的前2005项的和S₂₀₀₅等于（ ）
A．8028
B．8024
C．8020
D．8012

4. 难度：中等

如果函数的一条对称轴为，则使f（x）为单调递减的一个区间为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知的夹角为arctan2，则实数m的值为（ ）
A．
B．
C．-7或9
D．1或-11

6. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数，则方程x²-4[x]+3=0的所有根的和为（ ）
A．
B．4+
C．8
D．4

二、填空题

7. 难度：中等

若，则sin2α=    ．

8. 难度：中等

已知f（x）满足：，则f（x）=    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，已知a²+b²-ab-c²=0，且，则A=    ．

10. 难度：中等

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=9，并且对任意的n有2a_n+1²+3a_n+1a_n-2a_n²-a_n+1-2a_n=0，那么数列{a_n}的通项公式为    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，AB的中点为E，，AF与CE的交点为P，设，则数组（λ，μ）的值为    ．

12. 难度：中等

对一切自然数（含零）x、y定义一个运算x⊗y，满足以下3个条件：①x⊗0=x+1；②0⊗（x+1）=1⊗x；③（x+1）⊗（y+1）=[x⊗（y+1）]⊗y，则n⊗1=    ，2005⊗2=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

已知上有最小值，求f（x）的最大值．

14. 难度：中等

已知A={x|x²-mx-2x+2m≤0，m≥0}，f（x）=ax²+3x-b（a，b为正整数），设f（x）=x的两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=3
（1）求f（x）；
（2）设，若g（x）在A中恒有g（x）＞m，求m的取值范围．

15. 难度：中等

平面上有n个圆和直线l，任意两个圆都相交，直线l也与这n个圆相交，记所有交点数的最大值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求最大的正整数K的值，使对任意的n，都有kS_n＜2005．