Question

对一切自然数（含零）x、y定义一个运算x⊗y，满足以下3个条件：①x⊗0=x+1；②0⊗（x+1）=1⊗x；③（x+1）⊗（y+1）=[x⊗（y+1）]⊗y，则n⊗1=    ，2005⊗2=    ．

Answer

根据已知定义的运算，研究得出（n+1）⊗1=（n+1）⊗（0+1）（构造成③的形式）=[n⊗1]⊗0（应用③）
=n⊗1+1（应用①），移向得：（n+1）⊗1-n⊗1+1=1，再求出0⊗1=2，结合等差数列的通项公式求解求出n⊗1．
用同样的方法，研究得出n⊗2-[（n-1）]⊗2=2，且n⊗2=3，得出n⊗2=2n+3，∴2005⊗2=2×2005+3=4013
【解析】
（n+1）⊗1=（n+1）⊗（0+1）=[n⊗1]⊗0=n⊗1+1，移向得：（n+1）⊗1-n⊗1+1=1，数列{n⊗1}是以1为公差的等差数列．当n=0时，0⊗1=0⊗（0+1）=1⊗0，在x⊗0=x+1中，令x=1，得出1⊗0=1+1=2.0⊗1=2，n⊗1=2+n×1=n+2，n⊗2=[（n-1）⊗2]⊗1=[（n-1）]⊗2+2，移向得：n⊗2-[（n-1）]⊗2=2，数列{ n⊗2}是以2为公差的等差数列，当n=0时，n⊗2=0⊗2=1⊗1=3，n⊗2=0⊗2+n×2=2n+3.2005⊗2=2×2005+3=4013．
故答案为：2n+1，4013．