2009-2010学年重庆市南开中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合C_U（A∩B）=（ ）
A．{3}
B．{4，5}
C．{3，4，5}
D．{1，2，4，5}

2. 难度：中等

已知a∈R，则“a＞2”是“a²＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

要得到函数y=f（3x+6）的图象，只需要把函数y=f（3x）的图象（ ）
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向左平移6个单位
D．向右平移6个单位

4. 难度：中等

下列函数中，有反函数的是（ ）
A．
B．
C．y=sin
D．

5. 难度：中等

已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x²-2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（ ）
A．k≤1
B．k＜1
C．k≥1
D．k＞1

6. 难度：中等

函数的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（x）=f（4-x），若x∈[2，+∞）时，f（x）单调递增，则当2＜a＜4时，有（ ）
A．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
B．f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）
C．f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）
D．f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）

8. 难度：中等

已知命题P：函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q：不等式 x²+（2a-3）x+1＞0的解集为R．如果“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

定义在R上的周期函数f（x）的最小正周期是T，若y=f（x），x∈（0，T），有反函数y=f^-1（x），（x∈D），则函数y=f（x），x∈（T，2T）的反函数是（ ）
A．y=f^-1（x）（x∈D）
B．y=f^-1（x-T）（x∈D）
C．y=f^-1（x+T）（x∈D）
D．y=f^-1（x）+T（x∈D）

10. 难度：中等

若关于x的不等式x²+|x-a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-，2）
B．（-，）
C．（-2，）
D．（-2，2）

二、填空题

11. 难度：中等

不等式的解集为    ．

12. 难度：中等

已知f（3^x）=2xlog₂3，则f（2）=    ．

13. 难度：中等

函数y=（x²-2mx+3），在（-∞，1）上为增函数，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=e^2（x-1），且f^-1（x）为f（x）的反函数，若函数，则g[g（-1）]=    ．

15. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）=|x²-1|，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同的实数解，则b+c=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

（1）解关于x的不等式；
（2）记（1）中不等式的解集为A，函数g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]，（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R），且f（1）=0．
（1）若函数f（x）与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0）之间的距离为2，求b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，求b的取值范围．

18. 难度：中等

已知奇函数的反函数f^-1（x）的图象过点A（-3，1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式f^-1（x）＞-1．

19. 难度：中等

某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的市场销售进行调研，结果如图（1）、（2）所示．其中（1）的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；（2）的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）写出市场的日销售量f（t）与第一批产品A上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后的第几天，这家公司日销售利润最大，最大利润是多少？

20. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若不等式f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）对t∈[4，6]恒成立，求实数x的取值范围．

21. 难度：中等

已知定义在R⁺上的函数f（x）有．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数，直线（n∈N^*）分别与函数y=g（x），y=g^-1（x）交于A_n、B_n两点（n∈N^*）．设a_n=|A_nB_n|，S_n为数列{a_n}的前n项和．
①求a_n，并证明；
②求证：当n≥2时，．