2010-2011学年浙江省温州市龙湾中学高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若直线经过A （1，0 ）、B （2，） 两点，则直线AB的倾斜角是（ ）
A．135°
B．120°
C．60°
D．45°

2. 难度：中等

设正方体的内切球的体积是，那么该正方体的棱长为（ ）
A．2
B．4
C．
D．

3. 难度：中等

已知圆x²+y²-4x+2y-4=0，则圆心坐标、半径的长分别是（ ）
A．（2，-1），3
B．（-2，1），3
C．（-2，-1），3
D．（2，-1），9

4. 难度：中等

在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行

5. 难度：中等

如图，△ABC为正三角形，AA₁∥BB₁∥CC₁，CC₁⊥平面ABC，且3AA₁==CC₁=AB，则多面体ABC-A₁B₁C₁的正视图是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y²=24x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

直线l₁：x+2y-2=0与直线l₂：ax+y-a=0交于点P，l₁与y轴交于点A，l₂与x轴交于点B，若A，B，P，O四点在同一圆周上（其中O为坐标原点），则实数a的值是（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

8. 难度：中等

函数f（x）=ax²+3ax+1，若f（x）＞f′（x）对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜
B．a≥0
C．0＜a＜
D．0≤a＜

9. 难度：中等

设抛物线y²=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（ ）
A．
B．8
C．
D．16

10. 难度：中等

下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）

A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

11. 难度：中等

如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，则点M的轨迹方程为    ．

12. 难度：中等

若曲线f（x）=x⁴-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为    ．

13. 难度：中等

在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC₁的中点，则异面直线AC和MN所成的角为    度．

14. 难度：中等

已知点P（x，y）是曲线上的动点，则点P到直线y=x+3的距离的最大值是    ．

15. 难度：中等

如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是    ．

16. 难度：中等

设F₁和F₂为双曲线的两个焦点，若F₁、F₂、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为    ．

17. 难度：中等

如图，M是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点，给出下列命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行．
其中真命题是    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题

18. 难度：中等

一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+x²+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f'（x）是奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．

20. 难度：中等

如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧），且|MN|=3，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与圆O：x²+y²=4相交于两点A、B，连接AN、BN．求证：∠ANM=∠BNM．

21. 难度：中等

设F₁，F₂分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F₁到直线l的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的焦距；
（Ⅱ）如果，求椭圆C的方程．

22. 难度：中等

如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，
AN⊥PC于N．（Ⅰ）求证：BC⊥面PAC；
（Ⅱ）求证：PB⊥面AMN．
（Ⅲ）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN 的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？