Question

如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，
AN⊥PC于N．（Ⅰ）求证：BC⊥面PAC；
（Ⅱ）求证：PB⊥面AMN．
（Ⅲ）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN 的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？

Answer

（Ⅰ）由PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，又AB为斜边，得BC⊥AC，PA∩AC=A，由直线和平面垂直的判定定理证得BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）由BC⊥平面PAC证得BC⊥AN，又AN⊥PC，可得AN⊥面PBC，从而AN⊥PB．
（Ⅲ）由PB⊥面AMN，可得PB⊥MN，再由AN⊥平面PBC，可得AN⊥MN，故△AMN为直角三角形．用勾股定理求出AN的值，根据=，
当tanθ=时，S△AMN有最大值为2．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC．
∴PA⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）证明：∵BC⊥平面PAC，AN⊂平面PAC，∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB⊂平面PBC．∴AN⊥PB．
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，∴PB⊥平面AMN．（9分）
（Ⅲ）【解析】
在Rt△PAB中，PA=AB=4，∴PB=4，∵PM⊥AB，∴AM=PB=2，∴PM=BM=2．
又∵PB⊥面AMN，MN⊂平面AMN．∴PB⊥MN．∵MN=PM•tanθ=2tanθ，∵AN⊥平面PBC，MN⊂平面PBC．∴AN⊥MN．
∵AN=，∴．
∴当tan2θ=，即tanθ=时，S△AMN有最大值为2，
∴当tanθ=时，S△AMN面积最大，最大值为2．         （16分）