2010-2011学年北京市西城区外国语学校高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x²-x＜0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3}
D．∅

2. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x²+x+1＞0．下列结论中正确的（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧非q”是真命题
C．命题“非p∧q”是真命题
D．命题“非p∧q”是假命题

3. 难度：中等

设l，m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，有如下四个命题：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．

5. 难度：中等

设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a

6. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：，则z=x-3y的最小值（ ）
A．-2
B．-4
C．-6
D．-8

7. 难度：中等

若＜＜0，则下列不等式
①a+b＜ab；
②|a|＞|b|；
③a＜b；
④+＞2中，正确的不等式有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

设x₁＜x₂，定义 区间[x₁，x₂]的长度为x₂-x₁，已知函数y=2^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0.5

二、填空题

9. 难度：中等

已知tanα=cosα，那么=    ．

10. 难度：中等

已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为    ；渐近线方程为    ．

11. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相交于A、B两点，且|AB|=1，则=    ．

12. 难度：中等

如图所示，直三棱柱的主视图面积为2a²，则左视图的面积为    ．

13. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=-8x上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为    ．

14. 难度：中等

曲线f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R）通过点P（0，2a²+8），在点Q（-1，f（-1）） 处的切线垂直于y轴，则的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到，写出y=g（x）的解析式及并求y=g（x）的单调递增区间．

16. 难度：中等

设A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别a，b，c.，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=，求b+c的值．

17. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，CA的中点．
（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；
（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF并说明理由；
（3）若PA=AB=2，对于（Ⅱ）中的点F，求三棱锥P-BEF的体积．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上（n∈N^*）
（I）证明数列{a_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足，求数列{b_n}的通项公式及前n项和公式S_n．

19. 难度：中等

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

20. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值．